Question

【題目】已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上．

（1）求橢圓的方程;

（2）設(shè)動(dòng)直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，判斷是否存在以原點(diǎn)為圓心的圓，滿足此圓與相交兩點(diǎn)，（兩點(diǎn)均不在坐標(biāo)軸上），且使得直線，的斜率之積為定值？若存在，求此圓的方程與定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1），（2）存在符合條件的圓，且此圓的方程為，定值為

【解析】

（1）利用離心率和點(diǎn)在橢圓上列出方程，解出即可

（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，先將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，推出，然后通過(guò)直線與圓的方程聯(lián)立，

設(shè)，，結(jié)合韋達(dá)定理，求解直線的斜率乘積，推出為定值，然后再驗(yàn)證直線的斜率不存在時(shí)也滿足即可

（1）由題意得：，

又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上

所以

解得

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

（2）結(jié)論：存在符合條件的圓，且此圓的方程為

證明如下：

假設(shè)存在符合條件的圓，且設(shè)此圓的方程為：

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為

由方程組得

因?yàn)橹本�與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)

所以

即

由方程組得

則

設(shè)，，則

設(shè)直線，的斜率分別為，

所以

將代入上式得

要使得為定值，則，即

所以當(dāng)圓的方程為時(shí)，

圓與的交點(diǎn)，滿足為定值

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由題意知的方程為

此時(shí)圓與的交點(diǎn)，也滿足為定值

綜上：當(dāng)圓的方程為時(shí)，

圓與的交點(diǎn)，滿足為定值