Question

若曲線y=xlnx上一點(diǎn)P到直線y=

1

2

x-1的距離最小，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為

e

e

．

Answer 1

分析：欲求曲線y=xlnx上一點(diǎn)P到直線y=

1

2

x-1的距離最小，就是求曲線y=xlnx上與直線y=

1

2

x-1平行的切線與直線y=

1

2

x-1的距離．對(duì)曲線y進(jìn)行求導(dǎo)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，分析知道過點(diǎn)P直線與直線y=

1

2

x-1平行且與曲線相切于點(diǎn)P，從而求出P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：∵點(diǎn)P是曲線y=xlnx上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P到直線y=

1

2

x-1的最小距離，就是曲線y=xlnx上與直線y=

1

2

x-1平行的切線與直線y=

1

2

x-1的距離．
∵y=xlnx，
∴y′=lnx+1（x＞0），
令y′=lnx+1=

1

2

，解得x=

e

e

，
∴x=

e

e

，
當(dāng)x=

e

e

，y=-

e

2e

，點(diǎn)P（

e

e

，-

e

2e

），
此時(shí)點(diǎn)P到直線y=

1

2

x-1的距離最�。�
故答案為：

e

e

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程以及點(diǎn)到直線的距離，利用了導(dǎo)數(shù)與斜率的關(guān)系，這是高考�？嫉闹�識(shí)點(diǎn)，此題是一道基礎(chǔ)題．