Question

12．已知函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$-1，a∈R．
（1）若關于x的不等式f（x）＞-x+1在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍；
（2）設函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，在（1）的條件下，試判斷g（x）在[1，e²]上是否存在極值．若存在，判斷極值的正負；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由$lnx+\frac{a}{x}-1＞-x+1$，（x＞0），得a＞-x²-xlnx+2x，令g（x）=-x²-xlnx+2x，則g′（x）=-2x-lnx+1，g''（x）=-$\frac{2x+1}{x}＜0$，x∈[1，+∞），從而得到g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，由此能求出a的取值范圍．
（2）$\frac{f（x）}{x}$=$\frac{xlnx+a-x}{{x}^{2}}$，g′（x）=$\frac{2x-xlnx-2a}{{x}^{3}}$，由g′（x）=0，得2a=x-xlnx，令h（x）=x-xlnx，則h′（x）=-lnx＜0，x∈[1，e²]，由此推導出g（x）在[1，e²]上不存在極值．

解答 解：（1）∵f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$-1，a∈R．
關于x的不等式f（x）＞-x+1在[1，+∞）上恒成立，
∴$lnx+\frac{a}{x}-1＞-x+1$，（x＞0），
∴$\frac{a}{x}＞-x-lnx+2$，∴a＞-x²-xlnx+2x，
令g（x）=-x²-xlnx+2x，
則g′（x）=-2x-lnx-1+2
=-2x-lnx+1，
g''（x）=-2-$\frac{1}{x}$=-$\frac{2x+1}{x}＜0$，x∈[1，+∞），
∴g′（x）單調(diào)遞減，又g′（1）=-1，
∴g′（x）＜0，x∈[1，+∞），
∴g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，
g（x）_max=g（1）=1，
∴a＞1，即a的取值范圍是[1，+∞）．
（2）$\frac{f（x）}{x}$=$\frac{lnx}{x}+\frac{a}{{x}^{2}}-\frac{1}{x}$=$\frac{xlnx+a-x}{{x}^{2}}$，
g′（x）=$\frac{[lnx+1-1]{x}^{2}-2x（xlnx+a-x）}{（{x}^{2}）^{2}}$=$\frac{2x-xlnx-2a}{{x}^{3}}$，
由g′（x）=0，得2x-xlnx-2a=0，即2a=x-xlnx，
令h（x）=x-xlnx，
則h′（x）=1-lnx-1=-lnx＜0，x∈[1，e²]，
∴h（x）在[1，e²]上單調(diào)遞減，
h（x）∈[-e²，1]，又a＞1，2a＞2，∴2a≠x-xlnx，x∈[1，e²]，
∴g（x）在[1，e²]上不存在極值．

點評 本題考查、實數(shù)的取值范圍、導數(shù)性質(zhì)、構(gòu)造法等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、分類與整合思想，考查創(chuàng)新意識、應用意識，是中檔題．