Question

【題目】設從集合中取出個兩兩互質的數(shù)的取法有種.求.

Answer 1

【答案】

【解析】

顯然，中的質數(shù)為2，3，5，7，11，13，17，19，23，共9個.

當時，所取出的個數(shù)除了1以外，至少有10個數(shù).由抽屜原理知，必有兩個數(shù)被同一個質數(shù)整除，此兩數(shù)不互質，矛盾.

故.

所以，為的所有子集的個數(shù)，其中，，且中的數(shù)兩兩互質.

下面通過考慮中各個數(shù)的質因數(shù)分解求.

（1）中的數(shù)都恰有一個質因數(shù)，則是在

，，，，，，，， ①中的若干組中各取出一數(shù)組成的集合.

類似一個數(shù)的約數(shù)個數(shù)的計算，得到的個數(shù)為，其中，單元子集有15個.

（2）中恰有一數(shù)有兩個質因數(shù)，其余各數(shù)都只有一個質因數(shù).

的質因數(shù)為、、、、、或.則為、、、22、26、15或21之一，其余各數(shù)是在集族①剩余各組中的若干組中各取一數(shù).得的個數(shù)為，其中，單元子集有12個.

（3）中恰有兩數(shù)、各有兩個質因數(shù)，其余各數(shù)都只有一個質因數(shù).

、的質因數(shù)為和、和、和、和、和、和.

則為 、、、、、之一，其余各數(shù)是在集族①剩余各組中的若干組中各取一數(shù).得到的個數(shù)為.

（4）中有三數(shù)、、各有兩個質因數(shù)，設這六個質數(shù)依次為.則

，，，，，.

因，所以，只能與2為同一數(shù)的質因數(shù)，但，矛盾.

（5）中有一數(shù)有三個質因數(shù)，則，矛盾.

綜上，且考慮“1”的加入及（1）、（2）中的單元子集，所以，

.