Question

10．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（-1，0），且傾斜角為α，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸的非負(fù)半軸為極軸，取與直角坐標(biāo)系xOy相同的長(zhǎng)度單位，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ．
（1）若直線l與曲線C有公共點(diǎn)，求α的取值范圍；
（2）求直線l₁：x-$\sqrt{3}$y=0被曲線C所截得的弦長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（-1，0），且傾斜角為α，利用點(diǎn)斜式可得直線方程．曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ，即ρ²=2ρcosθ，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．由直線l與曲線C有公共點(diǎn)，可得$\frac{|2tanα|}{\sqrt{1+ta{n}^{2}α}}$≤1，解出即可得出．
（2）圓心到直線的距離d=$\frac{1}{2}$，可得弦長(zhǎng)=2$\sqrt{{r}^{2}-uh69sdb^{2}}$．

解答 解：（1）由直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（-1，0），且傾斜角為α，可得直線方程：y=（x+1）tanα，
曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ，即ρ²=2ρcosθ，可得直角坐標(biāo)方程：x²+y²-2x=0，可得（x-1）²+y²=1，
∵直線l與曲線C有公共點(diǎn)，∴$\frac{|2tanα|}{\sqrt{1+ta{n}^{2}α}}$≤1，可得：tan²α≤$\frac{1}{3}$，∴$-\frac{\sqrt{3}}{3}$≤tanα≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵α∈[0，π），∴α∈$[0，\frac{π}{6}]$∪$[\frac{5π}{6}，π）$．
（2）圓心到直線的距離d=$\frac{1}{2}$，
∴直線l₁：x-$\sqrt{3}$y=0被曲線C所截得的弦長(zhǎng)L=2$\sqrt{1-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了曲線的相交弦長(zhǎng)、極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．