Question

20．已知正三棱錐P-ABC的外接球的半徑為2，且球心在點A，B，C所確定的平面上，則該正三棱錐的表面積是$3（\sqrt{15}+\sqrt{3}）$．

Answer 1

分析 畫出圖形，求出正三棱錐的底面邊長，側(cè)棱長以及斜高，然后求解正三棱錐的表面積．

解答 解：正三棱錐P-ABC的四個頂點都在同一球面上，
其中底面的三個頂點在該球的一個大圓上．
所以ABC的中心就是球心O，PO是球的半徑，也是正三棱錐的高，
則R=2，
由題意可知：OA=OB=OC=2，底面三角形ABC的高為：3．
則AB=3，AB=2$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$，PA=3$\sqrt{2}$，
則該正三棱錐的表面積是：$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×3+3×$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=3$\sqrt{3}$+3$\sqrt{15}$．
故答案為：$3（\sqrt{15}+\sqrt{3}）$．

點評 本題考查空間幾何體的表面積的求法，正三棱錐與外接球的關(guān)系，考查空間想象能力以及計算能力．