Question

如圖，正三棱錐ABC-A₁B₁C₁的底面邊長為a，側(cè)棱長為a，M是A₁B₁的中點(diǎn)．
（I）求證：是平面ABB₁A₁的一個(gè)法向量；
（II）求AC₁與側(cè)面ABB₁A₁所成的角．

Answer 1

【答案】分析：（I）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，平面ABC為xoy平面，方向?yàn)閤軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能夠證明是平面ABB₁A₁的一個(gè)法向量；
（II）由=，=，=，，能夠求出AC₁與側(cè)面ABB₁A₁所成的角．
解答：解：（I）如圖，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，平面ABC為xoy平面，
方向?yàn)閤軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），B（a，0，0），，
M（，
所以=（a，0，0），=．…（5分）
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103103553710826655/SYS201311031035537108266016_DA/16.png">，，
所以MC₁⊥AB，MC₁⊥BB₁，
從而MC₁⊥平面ABB₁A₁．
故是平面ABB₁A₁的一個(gè)法向量．…（9分）
（II）=．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103103553710826655/SYS201311031035537108266016_DA/21.png">=，
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103103553710826655/SYS201311031035537108266016_DA/23.png">=，，
所以，即．…（13分）
故AC₁與側(cè)面ABB₁A₁所成的角為30°．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查平面的法向量的證明，考查直線與平面所成角的大小的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意向量法的合理運(yùn)用．