如圖,正三棱錐ABCA1B1C1中,底面邊長(zhǎng)為a,側(cè)棱長(zhǎng)為,若經(jīng)過對(duì)角線AB1且與對(duì)角線BC1平行的平面交上底面于DB1.

(1)試確定D點(diǎn)的位置,并證明你的結(jié)論;

(2)求平面AB1D與側(cè)面AB1所成的角及平面AB1D與底面所成的角;

(3)求A1到平面AB1D的距離.

解析:(1)DA1C1的中點(diǎn),連結(jié)A1BAB1交于E,則EA1B的中點(diǎn),DE為平面AB1D與平面A1BC1的交線,?

BC1∥平面AB1D,BC1DE,?

DA1C1的中點(diǎn).?

(2)過DDFA1B1F,由正三棱錐的性質(zhì),AA1DF,∴DF⊥平面AB1.?

連結(jié)DG,則∠DGF為平面AB1D與側(cè)面AB1所成的角的平面角,可求得DF=a.?

由△B1FG≌△B1AA1,得FG=a.?

∴∠DGF=.?

DA1C1的中點(diǎn),∴B1DA1C1.?

由正三棱錐的性質(zhì),AA1B1D.?

B1D⊥平面A1C.∴B1DAD.?

∴∠A1DA是平面AB1D與上底面所成的角的平面角,可求得tanA1DA=,?

∴∠A1DA=arctan.?

(3)過A1A1MAD,∵B1D⊥平面A1C,∴B1DA1M.∴A1M⊥平面AB1D,即A1MA1到平面AB1D的距離.AD=a,∴A1M=a.

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如圖,正三棱錐ABC-A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為a,側(cè)棱長(zhǎng)為
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a,M是A1B1的中點(diǎn).
(I)求證:
MC1
是平面ABB1A1的一個(gè)法向量;
(II)求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角.

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