Question

16．若數(shù)列{a_n}與{b_n}滿足${b_{n+1}}{a_n}+{b_n}{a_{n+1}}={（{-1}）^n}+1，{b_n}=\frac{{3+{{（{-1}）}^{n-1}}}}{2}，n∈{N^*}$，且a₁=2，設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，則S₆₃=（　�。�

• A． 560
• B． 527
• C． 2015
• D． 630

Answer 1

分析 數(shù)列{a_n}與{b_n}滿足${b_{n+1}}{a_n}+{b_n}{a_{n+1}}={（{-1}）^n}+1，{b_n}=\frac{{3+{{（{-1}）}^{n-1}}}}{2}，n∈{N^*}$，且a₁=2，可得$\frac{3+（-1）^{n}}{2}$a_n+$\frac{3+（-1）^{n-1}}{2}$a_n+1=（-1）ⁿ+1，a₂=-1．n=2k（k∈N^*）時(shí)，化為：2a_2k+a_2k+1=2；n=2k-1（k∈N^*）時(shí)，化為：a_2k-1+2a_2k=0．可得a_2k+1-a_2k-1=2，a_2k+2-a_2k=-1．再利用等差數(shù)列的定義通項(xiàng)公式與求和公式即可得出．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}與{b_n}滿足${b_{n+1}}{a_n}+{b_n}{a_{n+1}}={（{-1}）^n}+1，{b_n}=\frac{{3+{{（{-1}）}^{n-1}}}}{2}，n∈{N^*}$，且a₁=2，
∴$\frac{3+（-1）^{n}}{2}$a_n+$\frac{3+（-1）^{n-1}}{2}$a_n+1=（-1）ⁿ+1，a₂=-1．
n=2k（k∈N^*）時(shí)，化為：2a_2k+a_2k+1=2；
n=2k-1（k∈N^*）時(shí)，化為：a_2k-1+2a_2k=0．
∴a_2k+1-a_2k-1=2，a_2k+2-a_2k=-1．
∴數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，公差分別為2，-1，首項(xiàng)分別為2，-1．
∴S₆₃=（a₁+a₃+…+a₆₃）+（a₂+a₄+…+a₆₂）
=32×2+$\frac{32×31}{2}$×2+31×（-1）+$\frac{31×30}{2}$×（-1）
=560．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．