14.已知函數(shù)$f(x)=2cos(x+\frac{π}{3})[sin(x+\frac{π}{3})-\sqrt{3}cos(x+\frac{π}{3})]$.
(1)求f(x)的值域和最小正周期;
(2)方程f(x)=m在$x∈[0,\frac{π}{6}]$內(nèi)有解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

分析 (1)利用二倍角和兩角和與差以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin(ωx+φ)的形式,再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期,最后將內(nèi)層函數(shù)看作整體,放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上,解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)$x∈[0,\frac{π}{6}]$內(nèi)有時(shí),求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍,結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),可得f(x)的值域.即得實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解答 解:函數(shù)$f(x)=2cos(x+\frac{π}{3})[sin(x+\frac{π}{3})-\sqrt{3}cos(x+\frac{π}{3})]$.
化簡(jiǎn)可得:f(x)=2cos(x+$\frac{π}{3}$)•sin(x+$\frac{π}{3}$)-$\sqrt{3}$×2cos2(x+$\frac{π}{3}$)=sin(2x+$\frac{2π}{3}$)$-\sqrt{3}$cos(2x+$\frac{2π}{3}$)$-\sqrt{3}$
=2sin(2x+$\frac{π}{3}$)-$\sqrt{3}$
(1)∵-1≤sin(2x$+\frac{π}{3}$)≤1.
∴-2-$\sqrt{3}$≤2sin(2x$+\frac{π}{3}$)-$\sqrt{3}$≤2-$\sqrt{3}$,
最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π,
即f(x)的值域?yàn)閇-2-$\sqrt{3}$,2$-\sqrt{3}$],最小正周期為π.
(2)當(dāng)x∈[0,$\frac{π}{6}$]時(shí),
∴2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3},\frac{2π}{3}$],
故sin(2x+$\frac{π}{3}$)∈[$\frac{\sqrt{3}}{2},1$],
即實(shí)數(shù)m的取值范圍是[$0,2-\sqrt{3}$].

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用,利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵.屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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4.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的個(gè)數(shù)是(  )
①$(x-\frac{1}{x})'=1+\frac{1}{x^2}$、
②(log2x)′=$\frac{1}{xln2}$
③(3x)′=3xlog3x             
④(x2cosx)′=-2xsinx.
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

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5.已知各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足a5=2a4+3a3,存在兩項(xiàng)am,an使得$\sqrt{{a_m}•{a_n}}=27{a_1}$,則$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$的最小值為
$\frac{9}{8}$.

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2.若函數(shù)f(x)=cos(2x+θ)(0<θ<π)的圖象關(guān)于(π,0)對(duì)稱,則函數(shù)f(x)在[-$\frac{π}{4}$,$\frac{π}{6}$]上的最小值是( 。
A.-$\sqrt{3}$B.-1C.-$\frac{1}{2}$D.-$\frac{\sqrt{3}}{2}$

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9.已知函數(shù)f(x)=sin2x+2$\sqrt{3}$sinxcosx+3cos2x+α的最大值與最小值之和為-2.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式;
(Ⅱ)求使得函數(shù)f(x)≥0成立的x的集合.

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19.7人站成一排,求滿足下列條件的不同站法:
(1)甲、乙兩人相鄰;
(2)甲、乙之間隔著2人;
(3)若7人順序不變,再加入3個(gè)人,要求保持原先7人順序不變;
(4)甲、乙、丙3人中從左向右看由高到底(3人身高不同)的站法;
(5)若甲、乙兩人去坐標(biāo)號(hào)為1,2,3,4,5,6,7的七把椅子,要求每人兩邊都有空位的坐法.

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6.下列函數(shù)中,周期為2π的是( 。
A.y=sin$\frac{x}{2}$B.y=|sin$\frac{x}{2}$|C.y=cos2xD.y=|sin2x|

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3.已知集合A={x|x>0},則∁RA=( 。
A.{x|x<0}B.{x|x≤0}C.{x|x>0}}D.{x|x≥0}

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4.一根繩子長(zhǎng)為5米,若將其剪為兩段,則其中一段大于3米的概率為$\frac{4}{5}$.

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同步練習(xí)冊(cè)答案