Question

已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓的焦點，P為橢圓上一點，∠F₁PF₂=60°．
（1）求橢圓離心率的取值范圍；
（2）求證：△F₁PF₂的面積只與橢圓的短軸長有關(guān)．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意，可設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n． 在△PF₁F₂中，由余弦定理可知，4c²=m²+n²-2mncos60°．再由定義得出m+n=2a，然后進行恒等變形，將4c²=m²+n²-2mncos60°量m，n用a，c表示出來即可得出離心率的取值范圍
（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論，可算出△F₁PF₂的面積等于

3

3

b²，由此可得△F₁PF₂的面積僅與橢圓的短軸長有關(guān)．

解答： 解：設(shè)橢圓方程為 

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），|PF₁|=m，|PF₂|=n．
在△PF₁F₂中，由余弦定理可知，4c²=m²+n²-2mncos60°．
∵m+n=2a，∴m²+n²=（m+n）²-2mn=4a²-2mn，
∴4c²=4a²-3mn．即3mn=4a²-4c²．
又mn≤（

m+n

2

）²=a²（當且僅當m=n時取等號），
∴4a²-4c²≤3a²，∴

c2

a2

≥

1

4

，即e≥

1

2

．
∴e的取值范圍是[

1

2

，1）．
（2）由（1），得mn=

4(a2-c2)

3

=

4

3

b2，
∴S△F1PF2=

1

2

mnsin60°=

3

3

b2，
面積表達式中的字母只含有b，可得：△F₁PF₂的面積只與橢圓的短軸長有關(guān)．

點評：本題給出橢圓上一點與橢圓兩個焦點構(gòu)成的三角形，求三角形的面積并討論橢圓的離心率，著重考查了橢圓的定義與簡單性質(zhì)、基本不等式求最值和用正余弦定理解三角形等知識，屬于中檔題．