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10.已知各項(xiàng)為正的數(shù)列{an}是等比數(shù)列,a1=2,a5=32,數(shù)列{bn}滿足:對于任意n∈N*,有a1b1+a2b2+…+anbn=(n-1)•2n+1+2.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)令f(n)=a2+a4+…+a2n,求nlimfn+1fn的值;
(3)求數(shù)列{bn}通項(xiàng)公式,若在數(shù)列{an}的任意相鄰兩項(xiàng)ak與ak+1之間插入bk(k∈N*)后,得到一個新的數(shù)列{cn},求數(shù)列{cn}的前100項(xiàng)之和T100

分析 (1利用q=\root{4}{\frac{{a}_{5}}{{a}_{1}}},即可得出.
(2)利用等比數(shù)列的求和公式可得f(n)=434n1,f(n+1)=434n+11.再利用極限的運(yùn)算法則即可得出.
(3)由a1b1+a2b2+…+anbn=(n-1)•2n+1+2,當(dāng)n≥2時,a1b1+a2b2+…+an-1bn-1=(n-2)•2n+2,兩式相減得:可得bn=n2n2n=n(n≥2),b1=1滿足上式,可得bn=n.設(shè)Sn表示數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)之和,S100=(a1+a2+…+a50)+(b1+b2+…+b50),即可得出.

解答 解:(1)∵a1=2,a5=32,
∴q=\root{4}{\frac{{a}_{5}}{{a}_{1}}}=2,
∴an=2n
(2)f(n)=a2+a4+…+a2n=22+24+…+22n=44n141=434n1,f(n+1)=434n+11
nlimfn+1fn=nlim4n+114n1=nlim414n114n=4.
(3)∵a1b1+a2b2+…+anbn=(n-1)•2n+1+2,
∴當(dāng)n≥2時,a1b1+a2b2+…+an-1bn-1=(n-2)•2n+2,
兩式相減得:anbn=(n-1)•2n+1+2-(n-2)•2n+2=n•2n,即bn=n2n2n=n(n≥2),
又∵a1b1=2,即b1=1滿足上式,
∴bn=n;
設(shè)Sn表示數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)之和,
S100=(a1+a2+…+a50)+(b1+b2+…+b50
=2+22+…+250+1+2+…+50
=2250121+50×512
=251+1273.

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、遞推關(guān)系,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,且滿足\frac{{{T_{n+1}}}}{a_n^2}=\frac{T_n}{{a_{n+1}^2}}+16{n^2}-8n-3,求出b1的值,使得數(shù)列{bn}是等差數(shù)列;(3)求證:{S_n}>\frac{1}{2}(\sqrt{4n+1}-1),n∈{N^*}

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