Question

15．已知四棱錐P-ABCD底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=4，AB=2，E，F(xiàn)分別是線段AB，BC的中點．
（1）證明：PF⊥FD；
（2）在PA上找一點G，使得EG∥平面PFD；
（3）若PB與平面ABCD所成的角為45°，
①理科做：求二面角P-DE-A的正切值；
②文科做：求點E到平面PFD的距離．

Answer 1

分析 （1）證明AF⊥DF，利用PA丄平面ABCD，可得PA⊥DF，利用線面垂直的判定定理，即可得出結論；
（2）過點E作EH∥FD，交AD于點H，則EH∥平面PFD，且AH=$\frac{1}{4}$AD，再過點H作HG∥DP交PA于點G，則HG∥平面PFD且AG=$\frac{1}{4}$AP，從而平面GEH∥平面PFD，即可得出結論；
（3）①理科做：過A作AQ⊥DE于Q，連結PQ，證明∠PQA為所求二面角的平面角，即可求二面角P-DE-A的正切值；
②文科做：由等體積可得點E到平面PFD的距離．

解答 解：（1）證明：連接AF，則AF=2$\sqrt{2}$，DF=2$\sqrt{2}$，
又AD=4，∴DF²+AF²=AD²，
∴DF⊥AF．又PA⊥平面ABCD，
∴DF⊥PA，又PA∩AF=A，
∴DF⊥平面PAF，
∵PF?平面PAF，
∴PF⊥FD； …（4分）
（2）過點E作EH∥FD交AD于點H，則EH∥平面PFD且AH=$\frac{1}{4}$AD．
再過點H作HG∥DP交PA于點G，則HG∥平面PFD且AG=$\frac{1}{4}$AP，
∴平面EHG∥平面PFD．
∴EG∥平面PFD．
從而滿足AG=$\frac{1}{4}$AP的點G為所求．  …（8分）
（3）∵PA⊥平面ABCD，∴∠PBA為PB與平面ABCD所成的角，∴∠PBA=45°，
∴PA=AB=2
①理科 過A作AQ⊥DE于Q，連結PQ，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DE，
∴DE⊥平面PAQ，∴DE⊥平面PAQ，∴DE⊥AQ即∠PQA為所求二面角的平面角．…（10分）
在直角三角形AED中由等面積得AQ=$\frac{4×1}{\sqrt{16+1}}$  
∴tan∠PQA=$\frac{\sqrt{17}}{2}$…（12分）
②文科 由（Ⅰ）可知DF⊥平面PAF，∴△PDF為直角三角形.$PF=\sqrt{P{A^2}+A{F^2}}=2\sqrt{3}$，S_△DEF=3，
設點E到平面PFD的距離為h．則由等體積可得$3×2=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{3}×h$，∴$h=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
即點E到平面PFD的距離為$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$…（12分）

點評 本題考查線面垂直，線面平行，考查面面角、點面距離的計算，考查學生分析解決問題的能力，正確運用線面垂直，線面平行的判定定理是關鍵．