16．己知函數(shù)$f（x）=xlnx-\frac{a}{2}{x^2}$（a∈R），
（Ⅰ） 若函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為x+y+b=0，求實(shí)數(shù)a，b的值；
（Ⅱ） 若函數(shù)f（x）≤0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

分析 （Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為x+y+b=0列式求得a，b的值；
（Ⅱ）把f（x）≤0恒成立轉(zhuǎn)化為a≥$\frac{2lnx}{x}$恒成立，構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{2lnx}{x}$，利用導(dǎo)數(shù)求其最大值得答案．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=xlnx-$\frac{a}{2}$x2，
得f′（x）=lnx-ax+1，
∵切線方程為x+y+b=0，
∴f′（1）=1-a=-1，即a=2．
又f（1）=-$\frac{a}{2}$=-1，可得切點(diǎn)為（1，-1），代入切線方程得b=0；
（Ⅱ） f（x）≤0恒成立等價(jià)于a≥$\frac{2lnx}{x}$恒成立，即a≥（ $\frac{2lnx}{x}$）max，
設(shè)g（x）=$\frac{2lnx}{x}$，則g′（x）=$\frac{2（1-lnx）}{{x}^{2}}$，
當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，g′（x）＞0；
當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，g′（x）＜0．
∴當(dāng)x=e時(shí)，g（x）max=$\frac{2}{e}$，即a≥$\frac{2}{e}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，重點(diǎn)考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

13．班主任為了對(duì)本班學(xué)生的考試成績進(jìn)行分析，決定從全班36名女同學(xué)，24名男同學(xué)中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為5的樣本進(jìn)行分析．
（1）如果按性別比例分層抽樣，可以得到多少個(gè)不同的樣本？（只要求寫出計(jì)算式即可）
（2）隨機(jī)抽取5位，他們的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)從小到大排序是：89，91，93，95，97，物理分?jǐn)?shù)從小到大排序是：87，89，89，92，93
①若規(guī)定90分以上為優(yōu)秀，求這5位同學(xué)中恰有2位同學(xué)的數(shù)學(xué)和物理分?jǐn)?shù)均為優(yōu)秀的概率；②若這5位同學(xué)的數(shù)學(xué)、物理分?jǐn)?shù)事實(shí)上對(duì)應(yīng)如表：
學(xué)生編號(hào)12345
數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)x8991939597
物理分?jǐn)?shù)y8789899293
根據(jù)上表數(shù)據(jù)，用變量y與x的相關(guān)系數(shù)或散點(diǎn)圖說明物理成績y與數(shù)學(xué)成績x之間線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱．如果具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，求y與x的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；如果不具有線性相關(guān)性，請(qǐng)說明理由．
參考公式：相關(guān)系數(shù)r=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}}$；回歸直線的方程是：$\stackrel{∧}{y}$=bx+a，其中對(duì)應(yīng)的回歸估計(jì)值b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$，$\stackrel{∧}{{y}_{i}}$是與xi對(duì)應(yīng)的回歸估計(jì)值．
參考值：$\sqrt{15}$≈3.9．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

14．某算法的程序框圖如圖所示．如果從集合{x|-5≤x≤5，x∈Z}中任取一個(gè)數(shù)作為x值輸入，則輸出的y值大于或等于3的概率為（　�。�
A．$\frac{3}{10}$B．$\frac{3}{11}$C．$\frac{7}{10}$D．$\frac{7}{11}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

4．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-alnx-\frac{1}{3}（a∈R，a≠0）$．
（1）當(dāng)a=3時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．
（3）若對(duì)任意的x∈[1，+∞），都有f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

11．已知函數(shù)$f（x）=lnx-\frac{a（x-1）}{x}（a∈R）$．
（Ⅰ）若a=1，求y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）求證：不等式$\frac{1}{lnx}-\frac{1}{x-1}＜\frac{1}{2}$對(duì)一切的x∈（1，2）恒成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

1．已知兩圓${C_1}：{x^2}+{y^2}-2x+10y-24=0$，${C_2}：{x^2}+{y^2}+2x+2y-8=0$．
（1）求公共弦所在直線的方程；
（2）求公共弦的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

8．（I）已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{{{{（1+x）}^2}}}+\frac{1}{{{{（1-x）}^2}}}$（0≤x＜1），求y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若0＜α＜β＜1，0≤x＜1，求證：（1+x）α-2+（1-x）α-2≥（1+x）β-2+（1-x）β-2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

5．設(shè)l，m是不同的直線，α、β是不同的平面，且l?α，m?β（　　）
A．若l⊥β，則 α⊥βB．若α⊥β，則l⊥mC．若l∥β，則α∥βD．若α∥β，則l∥m

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

6．設(shè)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-x+5$，當(dāng)$x∈[{-\frac{3}{2}，3}]$時(shí)，f（x）＜m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（11，+∞）．

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