Question

3．設(shè)直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ=4cosθ．
（1）把曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)A（1，0），求$\frac{1}{|MA|}$+$\frac{1}{|NA|}$的值．

Answer 1

分析 （1）由曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ=4cosθ，即ρ²sin²θ=4ρcosθ，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．
（2）把直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程可得：3t²-8t-16=0，可得|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$，$\frac{1}{|MA|}$+$\frac{1}{|NA|}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}+\frac{1}{|{t}_{2}|}$=$\frac{|{t}_{1}-{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$．

解答 解：（1）由曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ=4cosθ，即ρ²sin²θ=4ρcosθ，可得直角坐標(biāo)方程：y²=4x．
（2）把直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入曲線C的直角坐標(biāo)方程可得：3t²-8t-16=0，
∴t₁+t₂=$\frac{8}{3}$，t₁t₂=-$\frac{16}{3}$．
∴|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{8}{3}）^{2}-4×（-\frac{16}{3}）}$=$\frac{16}{3}$．
∴$\frac{1}{|MA|}$+$\frac{1}{|NA|}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}+\frac{1}{|{t}_{2}|}$=$\frac{|{t}_{1}-{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{\frac{16}{3}}{\frac{16}{3}}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化、參數(shù)方程化為普通方程及其應(yīng)用、直線與拋物線相交弦長(zhǎng)問(wèn)題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．