Question

11．在平面直角坐標系xOy中，直線l經(jīng)過點A（-1，0），其傾斜角是α，以原點O為極點，以x軸的非負半軸為極軸，與直角坐標系xOy取相同的長度單位，建立極坐標系．設(shè)曲線C的極坐標方程是ρ²=6ρcosθ-5．
（Ⅰ）若直線l和曲線C有公共點，求傾斜角α的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)B（x，y）為曲線C任意一點，求$\sqrt{3}x+y$的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入曲線C的極坐標方程，可得曲線的直角坐標方程，聯(lián)立直線l的方程，消去y，運用判別式大于等于0，可得斜率的范圍，再由斜率公式，可得傾斜角的范圍；
（Ⅱ）求得曲線C的參數(shù)方程，運用兩角和的正弦公式和正弦函數(shù)的值域，即可得到所求范圍．

解答 解：（Ⅰ）曲線C的極坐標方程轉(zhuǎn)化成直角坐標方程是C：x²+y²-6x+5=0，
由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l：y=k（x+1），其中k=tanα．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}-6x+5=0\;，\;\;\\ y=k（x+1）\;，\;\;\end{array}\right.$
消去y得（1+k²）x²+2（k²-3）x+k²+5=0．
因為直線l和曲線C有交點，所以△=4（k²-3）²-4（1+k²）（k²+5）≥0，
即$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}≤k≤\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
即$tanα∈[-\frac{{\sqrt{3}}}{3}\;，\;\;\frac{{\sqrt{3}}}{3}]$，
所以$α∈[0\;，\;\;\frac{π}{6}]∪[\frac{5π}{6}\;，\;\;π）$．
（Ⅱ）曲線C：x²+y²-6x+5=0即（x-3）²+y²=4的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}x=3+2cosθ\;，\;\;\\ y=2sinθ\;，\;\;\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），
所以點B（x，y）的坐標可以寫成（3+2cosθ，2sinθ），
所以$\sqrt{3}x+y=3\sqrt{3}+2sinθ+2\sqrt{3}cosθ=3\sqrt{3}+4sin（θ+\frac{π}{3}）$，
因為sin（θ+$\frac{π}{3}$）∈[-1，1]，
所以$\sqrt{3}$x+y∈[3$\sqrt{3}$-4，3$\sqrt{3}$+4]．

點評 本題考查極坐標方程和直角坐標方程的互化，直線和圓的位置關(guān)系的判斷和應(yīng)用，注意運用轉(zhuǎn)化思想和判別式大于等于0，考查圓的參數(shù)方程的運用和兩角和的正弦公式及正弦函數(shù)的值域的運用，屬于中檔題．