Question

3．某工廠為了解用電量y與氣溫x℃之間的關(guān)系，隨機統(tǒng)計了5天的用電量與當天平均氣溫，得到如下統(tǒng)計表：

日期	8月1日	8月7日	8月14日	8月18日	8月25日
平均氣溫（℃）	33	30	32	30	25
用電量（萬度）	38	35	41	36	30

$\sum_{i=1}^{5}$x_iy_i=5446，$\sum_{i=1}^{5}$x_i²=4538，$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}-5\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{5}{{x}_{i}}^{2}-5{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$
（1）請根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程，據(jù)氣象預報9月3日的平均氣溫是23℃，請預測9月3日的用電量；（結(jié)果保留整數(shù)）
（2）從表中任選兩天，求用電量（萬度）都超過35的概率．

Answer 1

分析 （1）計算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回歸系數(shù)，寫出回歸方程，計算x=23時$\stackrel{∧}{y}$的值；
（2）利用列舉法求基本事件數(shù)，計算對應的概率值．

解答 解：（1）計算$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（33+30+32+30+25）=30，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（38+35+41+36+30）=36；
又$\sum_{i=1}^{5}$x_iy_i=5446，$\sum_{i=1}^{5}$x_i²=4538，
∴$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}-5\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{5}{{x}_{i}}^{2}-5{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{5446-5×30×36}{4538-5{×30}^{2}}$=$\frac{23}{19}$，
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$=36-$\frac{23}{19}$×30=-$\frac{6}{19}$，
∴y關(guān)于x的線性回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=$\frac{23}{19}$x-$\frac{6}{19}$；
當x=23時，$\stackrel{∧}{y}$=$\frac{23}{19}$×23-$\frac{6}{19}$=$\frac{523}{19}$≈27.53，
據(jù)此模型預測9月3日的用電量約為28萬度；
（2）分別記這5天為A、B、C、D、E，從中任選2天，
基本事件為AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE共10種，
其中用電量（萬度）都超過35的有AC、AD、CD共3種，
故所求的概率為P=$\frac{3}{10}$．

點評 本題考查了線性回歸方程的求法與應用問題，也考查了列舉法求古典概型的概率問題，是中檔題．