Question

12．已知等比數(shù)列{a_n}滿足a_n+a_n+1=9•2^n-1，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記b_n=（-1）ⁿ$\frac{{9•{2^{n-1}}}}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（3）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若不等式S_n＞ka_n-2對任意正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）{a_n}是等比數(shù)列，利用a_n+a_n+1=9•2^n-1求出a₁和q，可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）根據(jù){a_n}是等比數(shù)列求出b_n的通項(xiàng)公式，利用相消法可得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（3）根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出S_n，由不等式S_n＞ka_n-2對任意正整數(shù)n恒成立，分離參數(shù)k，轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，利用單調(diào)性可得實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答 解：（1）由題意，設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
∵a_n+a_n+1=9•2^n-1，
令n=1，可得a₁+a₂=9…①
令n=2，可得a₂+a₃=18，即…②
由①②解得：q=2，a₁=3．
∴等比數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為：${a}_{n}=3•{2}^{n-1}$．
（2）∵a_n+a_n+1=9•2^n-1，b_n=（-1）ⁿ$\frac{{9•{2^{n-1}}}}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，
∴b_n=$\frac{{a}_{n}+{a}_{n+1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$×（-1）ⁿ=$（-1）^{n}（\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{{a}_{n+1}}）$
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=$-（\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}）+（\frac{1}{{a}_{2}}+\frac{1}{{a}_{3}}）+$…+$（\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{{a}_{n+1}}）×（-1）^{n}$=$-\frac{1}{{a}_{1}}+（-1）^{n}×\frac{1}{{a}_{n+1}}$
∵${a}_{n}=3•{2}^{n-1}$．
∴${a}_{n+1}=3•{2}^{n}$．
∴T_n=$\frac{1}{3}$$[\frac{（-1）^{n}}{{2}^{n}}-1]$
（3）由（1）知${S}_{n}=\frac{{{a}_{1}（q}^{n}-1）}{q-1}=3（{2}^{n}-1）$
不等式S_n＞ka_n-2，即3（2ⁿ-1）＞k•3×2^n-1-2對任意正整數(shù)n恒成立．
可得：$k＜2-\frac{1}{3•{2}^{n-1}}$對任意正整數(shù)n恒成立．
令f（n）=$2-\frac{1}{3•{2}^{n-1}}$，
根據(jù)反比例的性質(zhì)可知：f（n）隨n的增大而增大．
∴當(dāng)n=1時(shí)，f（n）取得最小值為$\frac{5}{3}$．
∴k$＜\frac{5}{3}$．
故得實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-∞，$\frac{5}{3}$）．

點(diǎn)評 本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求解，利用相消法求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．