Question

6．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{log_2}（{1-x}）+1，-1≤x＜k\\{x^3}-3x+2，k≤x≤a\end{array}\right.$，若存在k使得函數(shù)f（x）的值域為[0，2]，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． $（{1，\sqrt{3}}]$
• B． （0，1]
• C． [0，1]
• D． $[{1，\sqrt{3}}]$

Answer 1

分析 畫出函數(shù)f（x）中兩個函數(shù)解析式對稱的圖象，然后求出能使函數(shù)值為2的關(guān)鍵點，進而可得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{log_2}（{1-x}）+1，-1≤x＜k\\{x^3}-3x+2，k≤x≤a\end{array}\right.$，∴函數(shù)f（x）的圖象如下圖所示：

∴函數(shù)f（x）在[-1，k）上為減函數(shù)，在[k，a]先減后增函數(shù)，
當(dāng)-1＜k≤$\frac{1}{2}$，x=$\frac{1}{2}$時，$lo{g}_{2}（1-\frac{1}{2}）+1=0$，
由于當(dāng)x=1時，-x³-3x+2=0，
當(dāng)x=a（a≥1）時，-a³-3a+2≤2，可得1≤a$≤\sqrt{3}$
故若存在k使得函數(shù)f（x）的值域為[0，2]，
則a∈[1，$\sqrt{3}$]，
故選：D．

點評 本題考查的知識點是分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的值域，數(shù)形結(jié)合思想，難度中檔．