Question

某學生對函數(shù)f（x）=2xcosx進行研究后，得出如下四個結論：
（1）函數(shù)f（x）在[-π，0]上單調遞增，在[0，π]上單調遞減；
（2）存在常數(shù)M＞0，使|f（x）|≤M|x|對一切實數(shù)x均成立；
（3）點(

π

2

，0)是函數(shù)y=f（x）圖象的一個對稱中心；
（4）函數(shù)y=f（x）圖象關于直線x=π對稱．
其中正確的

 

．（把你認為正確命題的序號都填上）

Answer 1

分析：對函數(shù)f（x）進行求導，根據(jù)導數(shù)的正負與原函數(shù)的增減性的關系可判斷（1）不對；
根據(jù)y=cosx是有界函數(shù)可得（2）對；
根據(jù)函數(shù)基本性質--對稱性的應用可判斷（3）（4）不對．

解答：解：∵f（x）=2xcosx是一個奇函數(shù)，在對稱的區(qū)間上單調性相同，故不對，排除（1）
因為|cosx|≤1，令M=2即得|f（x）|≤M|x|成立，故（2）對，
因為f（

π

2

+x）+f（

π

2

-x）=-（π+2x）sinx+（π-2x）sinx=-4xsinx≠0，所以點(

π

2

，0)不是函數(shù)y=f（x）圖象的一個對稱中心，
故（3）不對．
因為f（π+x）=2（π+x）cosx，f（π-x）=2（π-x）cosx，∴f（π+x）≠f（π-x），∴函數(shù)y=f（x）圖象不關于直線x=π對稱
故（4）不對
故答案為：（2）

點評：本題主要考查函數(shù)單調性與其導函數(shù)的正負之間的關系以及函數(shù)的基本性質--對稱性的應用．屬中檔題．