Question

4．記max{a，b}=$\left\{\begin{array}{l}{a，a≥b}\\{b，a＜b}\end{array}\right.$，已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$滿足|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=2，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，$\overrightarrow{c}$=λ$\overrightarrow{a}$+μ$\overrightarrow$（λ，μ≥0，且λ+μ=1，則當(dāng)max{$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow$}取最小值時，|$\overrightarrow{c}$|=（　�。�

• A． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
• B． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
• C． 1
• D． $\frac{\sqrt{5}}{2}$

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，設(shè)$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow$，則$\overrightarrow{a}=（1，0），\overrightarrow=（0，2）$，由已知求得λ的范圍，把$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow$均用含有λ的代數(shù)式表示，求出分段函數(shù)的值域，得到max{$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow$}的最小值，進(jìn)一步求得|$\overrightarrow{c}$|．

解答 解：如圖，

設(shè)$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow$，則$\overrightarrow{a}=（1，0），\overrightarrow=（0，2）$，
∵λ，μ≥0，λ+μ=1，∴0≤λ≤1．
又$\overrightarrow{c}$=λ$\overrightarrow{a}$+μ$\overrightarrow$，
∴$\overrightarrow{c}•\overrightarrow{a}=（λ\overrightarrow{a}+\overrightarrow-λ\overrightarrow）•\overrightarrow{a}$=λ；
$\overrightarrow{c}•\overrightarrow=（λ\overrightarrow{a}+\overrightarrow-λ\overrightarrow）•\overrightarrow$=4-4λ．
由λ=4-4λ，得$λ=\frac{4}{5}$．
∴max{$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow$}=$\left\{\begin{array}{l}{λ，\frac{4}{5}≤λ≤1}\\{4-4λ，0≤λ＜\frac{4}{5}}\end{array}\right.$．
令f（λ）=$\left\{\begin{array}{l}{λ，\frac{4}{5}≤λ≤1}\\{4-4λ，0≤λ＜\frac{4}{5}}\end{array}\right.$．
則f（λ）∈[$\frac{4}{5}，1$]．
∴$f（λ）_{min}=\frac{4}{5}$，此時$λ=\frac{4}{5}，μ=\frac{1}{5}$，
∴$\overrightarrow{c}=\frac{4}{5}\overrightarrow{a}+\frac{1}{5}\overrightarrow$=$（\frac{4}{5}，\frac{2}{5}）$．
∴$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{（\frac{4}{5}）^{2}+（\frac{2}{5}）^{2}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了分段函數(shù)值域的求法，屬中檔題．