Question

18．如圖，四棱錐P-ABCD，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，側面PAD是邊長為2的正三角形，O是AD的中點，M為PC的中點．
（1）求證：PC⊥AD；
（2）若PO與底面ABCD垂直，求直線DM與平面PAC所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）連接OC，AC，推導出OC⊥AD，O P⊥AD．從而AD⊥平面P OC，由此能證明PC⊥AD．
（2）設點D到平面 P AC的距離為h，由V_D-P AC=V _P-ACD，能求出直線DM與平面PAC所成的角的正弦值．

解答 證明：（1）連接OC，AC，
由題意可知△P AD，△ACD均為正三角形．
所以OC⊥AD，O P⊥AD．
又OC∩O P=O，OC?平面POC，OP?平面POC，
所以AD⊥平面POC，
又PC?平面POC，
所以PC⊥AD．
解：（2）∵PO⊥平面ABCD，∴PO為三棱錐P-ACD的高．
在Rt△P OC中，${P}{O}={O}C=\sqrt{3}$，${P}C=\sqrt{6}$
在△PAC中，P A=AC=2，${P}C=\sqrt{6}$，
邊PC上的高${A}{M}=\sqrt{{P}{{A}^2}-{P}{{M}^2}}=\frac{{\sqrt{10}}}{2}$，
所以△P AC的面積${S_{△{P}{A}C}}=\frac{1}{2}{P}C•{A}{M}=\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\frac{{\sqrt{10}}}{2}=\frac{{\sqrt{15}}}{2}$．
設點D到平面 P AC的距離為h，
由V_D-P AC=V _P-ACD得，$\frac{1}{3}{S_{△{P}{A}C}}•h=\frac{1}{3}{S_{△{A}CD}}•{P}{O}$，
又${S_{△{A}CD}}=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}=\sqrt{3}$，
所以$\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{15}}}{2}×h=\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\sqrt{3}$，解得$h=\frac{{2\sqrt{15}}}{5}$．
故點D到平面PAC的距離為$\frac{{2\sqrt{15}}}{5}$．
設直線DM與平面PAC所成的角為θ
則$sinθ=\frac{h}{DM}=\frac{{\frac{{2\sqrt{15}}}{5}}}{{\frac{{\sqrt{10}}}{2}}}=\frac{{2\sqrt{6}}}{5}$，
所以直線DM與平面PAC所成的角的正弦值為$\frac{{2\sqrt{6}}}{5}$．

點評 本題考查線線垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．