Question

5．設(shè)函數(shù)$f（x）=\vec a•\vec b$．其中向量$\vec a=（m，cosx），\vec b=（1+sinx，1），x∈R，且f（\frac{π}{2}）=2$．
（Ⅰ）求實數(shù)m的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用數(shù)量積的坐標運算結(jié)合f（$\frac{π}{2}$）=2求得m值；
（Ⅱ）把m值代入函數(shù)解析式，然后直接利用復合函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（Ⅰ）由已知可得$f（x）=\vec a•\vec b$=m（1+sinx）+cosx，
由f（$\frac{π}{2}$）=m（1+sin$\frac{π}{2}$）+cos$\frac{π}{2}$=2m=2，得m=1；
（Ⅱ）f（x）=1+sinx+cosx=$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）+1$．
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤x+\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}+2kπ$，得$-\frac{3π}{4}+2kπ≤x≤\frac{π}{4}+2kπ，k∈Z$．
由$\frac{π}{2}+2kπ≤x+\frac{π}{4}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，得$\frac{π}{4}+2kπ≤x≤\frac{5π}{4}+2kπ，k∈Z$．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[$-\frac{3π}{4}+2kπ，\frac{π}{4}+2kπ$]，k∈Z；
單調(diào)減區(qū)間[$\frac{π}{4}+2kπ，\frac{5π}{4}+2kπ$]，k∈Z．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查了y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是中檔題．