Question

在邊長為5的菱形ABCD中，AC=8．現(xiàn)沿對角線BD把△ABD折起，折起后使∠ADC的余弦值為

9

25

．
（I）求證：平面ABD⊥平面CBD；
（II）若M是AB的中點(diǎn)，求折起后AC與平面MCD所成角的一個三角函數(shù)值．

Answer 1

分析：（I）由已知中邊長為5的菱形ABCD中，AC=8．結(jié)合棱形的幾何性質(zhì)，我們易得到AO⊥OC，又AO⊥BD，結(jié)合線在垂直的判定定理及面面垂直的判定定理，即可得到答案．
（II）分別以O(shè)A，OC，OD所在直線為坐標(biāo)軸建系，結(jié)合M是AB的中點(diǎn)，我們求出幾何體中各頂點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線AC的方向向量和平面MCD的法向量，代入向量夾角公式即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）證明：菱形ABCD中，記AC，BD交點(diǎn)為O，AD=5，∴OA=4，OD=3
翻折后變成三棱椎A(chǔ)-BCD，在△ACD中，
AC²=AD²+CD²-2AD•CD•cos∠ADC
=25+25-2×5×5×

9

25

=32
在△AOC中，OA²+OC²=32=AC²，
∴∠AOC=90°，即AO⊥OC，又AO⊥BD，OC∩BD=O，
∴AO⊥平面BCD，（4分）
又AO?平面ABD，∴平面ABD⊥平面CBD．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知OA，OC，OD兩兩互相垂直，分別以O(shè)A，OC，OD所在直線為坐標(biāo)軸建系，
則A（0，0，4），B（0，-3，0），C（4，0，0），D（0，3，0），
M（0，-

3

2

，2），

MC

=(4，

3

2

，-2)，  

DC

=（4，-3，0），

AC

=（4，0，-4），（8分）
設(shè)平面MCD的一個法向量為

n

=(x，y，z)，則由

n • MC =0 n • DC =0

，得

4x+ 3 2 y-2z=0 4x-3y=0

，（10分）
令y=4，有

n

=(3，4，9)（10分）
設(shè)AC與平面MCD所成角為θ，sinθ=|cos?

AC，

n

＞|=|

12-36

106 • 32

|=

3

53

53

∴AC與平面MCD所成角的正弦值為

3

53

53

，（12分）

點(diǎn)評：本題考查的知識是平面與平面垂直的判定，用空間向量求直線與平面的夾角，其中選擇恰當(dāng)?shù)脑�點(diǎn)建立坐標(biāo)系，將線面夾角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題是解答本題的關(guān)鍵．