Question

17．.有甲、乙、丙、丁四支球隊進行單循環(huán)比賽，最后據各隊積分決出名次．規(guī)定每場比賽必須決出勝負，其中勝方積2分，負方積1分，已知球隊甲與球隊乙對陣，甲隊取勝的概率為$\frac{2}{5}$，與球隊丙、丁對陣，甲隊取勝的概率均為$\frac{1}{2}$，且各場次勝負情況彼此沒有影響．
（1）甲隊至少勝一場的概率；  
（2）求球隊甲賽后積分ξ的概率分布和數學期望．

Answer 1

分析 （1）甲隊至少勝一場的對立事件是甲三場比賽全負，由此利用對立事件概率計算公式能求出甲隊至少勝一場的概率．
（2）由題意知球隊甲賽后積分ξ的可能取值為3，4，5，6，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列和數學期望．

解答 解：（1）∵球隊甲與球隊乙對陣，甲隊取勝的概率為$\frac{2}{5}$，
與球隊丙、丁對陣，甲隊取勝的概率均為$\frac{1}{2}$，
且各場次勝負情況彼此沒有影響．
甲隊至少勝一場的對立事件是甲三場比賽全負，
∴甲隊至少勝一場的概率p=1-（1-$\frac{2}{5}$）（1-$\frac{1}{2}$）（1-$\frac{1}{2}$）=$\frac{17}{20}$．
（2）由題意知球隊甲賽后積分ξ的可能取值為3，4，5，6，
P（ξ=3）=（1-$\frac{2}{5}$）（1-$\frac{1}{2}$）（1-$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{20}$，
P（ξ=4）=$\frac{2}{5}$（1-$\frac{1}{2}$）（1-$\frac{1}{2}$）+（1-$\frac{2}{5}$）×$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{2}$）+（1-$\frac{2}{5}$）×（1-$\frac{1}{2}$）×$\frac{1}{2}$=$\frac{2}{5}$，
P（ξ=5）=$\frac{2}{5}$×$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{2}$）+（1-$\frac{2}{5}$）×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{5}$×（1-$\frac{1}{2}$）×$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{20}$，
P（ξ=6）=$\frac{2}{5}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$$\frac{1}{10}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	3	4	5	6
P	$\frac{3}{20}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{7}{20}$	$\frac{1}{10}$

$Eξ=3×\frac{3}{20}+4×\frac{2}{5}+5×\frac{7}{20}+6×\frac{1}{10}=4.4$．

點評 本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，考查概率的求法及應用，考查考查推理論證能力、運算求解能力，考查轉化化歸思想，是中檔題．