已知橢圓的中心在原點,焦點在x軸上,長軸長為8,離心率為
1
2

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)在橢圓上任取一點P,求P到直線l:x-2y-12=0的距離的最小值.
考點:直線與圓錐曲線的綜合問題
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析:(1)由題意知2a=8,
c
a
=
1
2
,由此能求出橢圓的方程.
(2)法一:設(shè)與l平行且與橢圓相切的直線方程為x-2y+m=0,聯(lián)立
x-2y+m=0
x2
16
+
y2
12
=1
,得:4x2+2mx+m2-48=0,當(dāng)P為l1與橢圓的切點時距離最小,由此能求出P到直線l:x-2y-12=0的距離的最小值.
(2)法二:設(shè)橢圓上任一點P坐標(biāo)為(4cosθ,2
3
sinθ)
,由此利用兩點間距離公式能求出P到直線l:x-2y-12=0的距離的最小值.
解答: (本小題共14分)
(1)解:由題意知2a=8,
c
a
=
1
2
,
∴a=4,c=2,b2=16-4=12,
∴橢圓的方程為
x2
16
+
y2
12
=1
.…(5分)
(2)解法一:設(shè)與l平行且與橢圓相切的直線方程為x-2y+m=0,
聯(lián)立
x-2y+m=0
x2
16
+
y2
12
=1

消去y得:4x2+2mx+m2-48=0,…(8分)
令△=4m2-16(m2-48)=0,得m=±8,…(10分)
當(dāng)m=-8時,所得直線l1:x-2y-8=0,…(11分)
當(dāng)P為l1與橢圓的切點時距離最小,
此時距離等于直線l1與直線l的距離.
直線l1與直線l距離d=
|-12-(-8)|
12+(-2)2
=
4
5
5

∴P到直線l:x-2y-12=0的距離的最小值為
4
5
5
.…(14分)
(2)解法二:∵橢圓的方程為
x2
16
+
y2
12
=1

∴設(shè)橢圓上任一點P坐標(biāo)為(4cosθ,2
3
sinθ)
,…(8分)
點P到直線l的距離:
d=
|4cosθ-2×2
3
sinθ-12|
12+(-2)2
=
|8cos(
π
3
+θ)-12|
5
,…(12分)
當(dāng)cos(
π
3
+θ)=1
時,
dmin=
4
5
5

∴P到直線l:x-2y-12=0的距離的最小值為
4
5
5
.…(14分)
點評:本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法,考查點到直線的距離的最小值的求法,解題時要認(rèn)真審題,注意函數(shù)與方程思想的合理運用.
練習(xí)冊系列答案
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x1+x2
2
)≤
1
2
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(1)求抽獎一次中獎的概率;
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