Question

2．已知函數(shù)f（x）=lnx-cx（c∈R）
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）有兩個相異零點x₁，x₂，求證：${x_1}•{x_2}＞{e^2}$．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．
（2）利用函數(shù)零點的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，進行轉(zhuǎn)化即可證明不等式．

解答 解：（1）∵f（x）=lnx-cx，∴x＞0，
f′（x）=$\frac{1}{x}$-c=$\frac{1-cx}{x}$，
當(dāng)c≤0時，f（x）單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）．
當(dāng)c＞0時，f（x）單調(diào)增區(qū)間為（0，$\frac{1}{c}$），f（x）單調(diào)減區(qū)間為（$\frac{1}{c}$，+∞）；
（2）∵f（x）有兩個相異零點，∴設(shè)lnx₁=cx₁，lnx₂=cx₂，①
即lnx₁-lnx₂=c（x₁-x₂），
∴$\frac{l{nx}_{1}-l{nx}_{2}}{{{x}_{1}-x}_{2}}$=c，②
而x₁•x₂＞e²，等價于：lnx₁+lnx₂＞2，即c（x₁+x₂）＞2，③
由①②③得：$\frac{l{nx}_{1}-l{nx}_{2}}{{{x}_{1}-x}_{2}}$（x₁+x₂）＞2，
不妨設(shè)x₁＞x₂＞0，則t=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＞1，
上式轉(zhuǎn)化為：lnt＞$\frac{2（t-1）}{t+1}$，t＞1
設(shè)H（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$，t＞1，
則H′（t）=$\frac{{（t-1）}^{2}}{{t（t+1）}^{2}}$＞0，
故函數(shù)H（t）是（1，+∞）上的增函數(shù)，
∴H（t）＞H（1）=0，
即不等式lnt＞$\frac{2（t-1）}{t+1}$成立，
故所證不等式x₁•x₂＞e²成立．

點評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系和應(yīng)用，以及利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值和零點問題，綜合性較強，運算量較大．