Question

14．已知向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$滿足$|{\overrightarrow a}|=2，|{\overrightarrow b}|=1$，且$（\overrightarrow a+\overrightarrow b）⊥（\overrightarrow a-\frac{5}{2}\overrightarrow b）$，則$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為（　　）

• A． $\frac{π}{3}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{2}$
• D． $\frac{π}{6}$

Answer 1

分析 根據(jù)平面向量的數(shù)量積運算與夾角公式，求出向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角余弦值，即可得出結(jié)論．

解答 解：向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$滿足$|{\overrightarrow a}|=2，|{\overrightarrow b}|=1$，且$（\overrightarrow a+\overrightarrow b）⊥（\overrightarrow a-\frac{5}{2}\overrightarrow b）$，
設(shè)向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為θ，
則（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-$\frac{5}{2}$$\overrightarrow$）=${\overrightarrow{a}}^{2}$-$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-$\frac{5}{2}$${\overrightarrow}^{2}$
=2²-$\frac{3}{2}$×2×1×cosθ-$\frac{5}{2}$×1²=0，
解得cosθ=$\frac{1}{2}$，
又θ∈[0，π]，
所以θ=$\frac{π}{3}$．
故選：A．

點評 本題主要考查了用兩個向量的數(shù)量積表示兩向量的夾角與兩向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．