Question

5．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{3}=1（a＞\sqrt{3}）$的中心、左焦點、左頂點、左準線與x軸的交點依次為O，F(xiàn)，G，H，則$\frac{FG}{OH}$取得最大值時a的值為2．

Answer 1

分析 根據(jù)橢圓的標準方程，結(jié)合焦點坐標和準線方程的公式，可得|FG|=a-c，|OH|=$\frac{{a}^{2}}{c}$，則$\frac{FG}{OH}$=$\frac{a-c}{\frac{{a}^{2}}{c}}=\frac{ac-{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{c}{a}-（\frac{c}{a}）^{2}$，配方后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出使$\frac{FG}{OH}$取得最大值時的$\frac{c}{a}$的值，則a可求．

解答 解：∵橢圓方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{3}=1（a＞\sqrt{3}）$，
∴橢圓的左焦點是F（-c，0），左頂點是G（-a，0），左準線方程為x=$-\frac{{a}^{2}}{c}$，其中c²=a²-3．
由此可得H（$-\frac{{a}^{2}}{c}$，0），|FG|=a-c，|OH|=$\frac{{a}^{2}}{c}$，
∴$\frac{FG}{OH}$=$\frac{a-c}{\frac{{a}^{2}}{c}}=\frac{ac-{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{c}{a}-（\frac{c}{a}）^{2}$=-$（\frac{c}{a}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{4}$，
∵$\frac{c}{a}$∈（0，1），
∴當且僅當$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$時，$\frac{FG}{OH}$取得最大值為$\frac{1}{4}$，此時$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{{a}^{2}-3}{{a}^{2}}=\frac{1}{4}$，解得a=2．
故答案為：2．

點評 本題根據(jù)橢圓的焦點坐標和準線方程，求線段比值的最大值，著重考查了橢圓的基本概念的簡單性質(zhì)，是中檔題．