如圖所示,拋物線C1:x2=4y,C2:x2=-2py(p>0).點M(x0,y0)在拋物線C2上,過M作C1的切線,切點為A,B(M為原點O時,A,B重合于O).當x0=1-時,切線MA的斜率為-.

(1)求p的值;

(2)當M在C2上運動時,求線段AB中點N的軌跡方程(A,B重合于O時,中點為O).

 

【答案】

(1)2 (2) x2=y

【解析】

解:(1)因為拋物線C1:x2=4y上任意一點(x,y)的切線斜率為y′=,且切線MA的斜率為-,

所以A點坐標為.

故切線MA的方程為y=-(x+1)+ .

因為點M(1-y0)在切線MA及拋物線C2上,于是

y0=-(2-)+=-, ①

y0=-=-. ②

由①②得p=2.

(2)設N(x,y),A,B,

x1≠x2,由N為線段AB中點知

x=, ③

y=. ④

切線MA,MB的方程為

y=(x-x1)+ , ⑤

y=(x-x2)+ . ⑥

由⑤⑥得MA,MB的交點M(x0,y0)的坐標為

x0=,y0=.

因為點M(x0,y0)在C2上,

即=-4y0,

所以x1x2=-. ⑦

由③④⑦得

x2=y,x≠0.

當x1=x2時,A,B重合于原點O,AB中點N為O,坐標滿足x2=y.

因此AB中點N的軌跡方程為x2=y.

 

練習冊系列答案
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如圖所示的曲線C是由部分拋物線C 1：y=x2-1（|x|≥1）和曲線C2：x2+
y2
m
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（1）當t=
2
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（2）當實數(shù)m取何值時，∠MAB=∠NAB？并求出此時直線l的方程．

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）；曲線AOD擬從以下兩種曲線中選擇一種：曲線C1是一段余弦曲線（在如圖所示的平面直角坐標系中，其解析式為y=cosx-1），此時記門的最高點O到BC邊的距離為h1（t）；曲線C2是一段拋物線，其焦點到準線的距離為
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，此時記門的最高點O到BC邊的距離為h2（t）．
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的橢圓C2與拋物線C1在x軸上方的一個交點為P．
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