Question

如圖所示，設(shè)拋物線C₁：y²=4mx（m＞0）的焦點(diǎn)為F₂，且其準(zhǔn)線與x軸交于F₁，以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)，離心率e=

1

2

的橢圓C₂與拋物線C₁在x軸上方的一個(gè)交點(diǎn)為P．
（1）當(dāng)m=1時(shí)，求橢圓C₂的方程；
（2）是否存在實(shí)數(shù)m，使得△PF₁F₂的三條邊的邊長(zhǎng)是連續(xù)的自然數(shù)，若存在，求出這樣的實(shí)數(shù)m；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）確定c=1，再利用橢圓的離心率，求出幾何量，即可得到橢圓C₂的方程；
（2）假設(shè)存在，橢圓方程與拋物線方程聯(lián)立，求出P的坐標(biāo)，從而可得結(jié)論．

解答：解：（1）當(dāng)m=1時(shí)，y²=4x，則F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）
設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），則c=1，
又e=

c

a

=

1

2

，所以a=2，b²=3
所以橢圓C₂方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，使得△PF₁F₂的三條邊的邊長(zhǎng)是連續(xù)的自然數(shù)，則
因?yàn)閏=m，e=

c

a

=

1

2

，則a=2m，b²=3m²，
設(shè)橢圓方程為

x2

4m2

+

y2

3m2

=1，與拋物線方程聯(lián)立得3x²+16mx-12m²=0
即（x+6m）（3x-2m）=0，得x_P=

2m

3

，代入拋物線方程得y_P=

2 6 m

3

∴P（

2m

3

，

2 6 m

3

）
∴|PF₂|=x_P+m=

5m

3

，|PF₁|=2a-|PF₂|=4m-

5m

3

=

7m

3

，|F₁F₂|=2m=

6m

3

，
∵△PF₁F₂的邊長(zhǎng)恰好是三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，∴m=3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程，考查使得三角形周長(zhǎng)是連續(xù)的自然數(shù)的最小實(shí)數(shù)的求法，考查橢圓與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．