Question

20．為了解人們對城市治安狀況的滿意度，某部門對城市部分居民的“安全感”進(jìn)行調(diào)查，在調(diào)查過程中讓每個(gè)居民客觀地對自己目前生活城市的安全感進(jìn)行評分，并把所得分作為“安全感指數(shù)”，即用區(qū)間[0，100]內(nèi)的一個(gè)數(shù)來表示，該數(shù)越接近100表示安全感越高．現(xiàn)隨機(jī)對該地區(qū)的男、女居民各500人進(jìn)行了調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)如表所示：

安全感指數(shù)	[0，20）	[20，40）	[40，60）	[60，80）	[80，100]
男居民人數(shù)	8	16	226	131	119
女居民人數(shù)	12	14	174	122	178

根據(jù)表格，解答下面的問題：
（Ⅰ）估算該地區(qū)居民安全感指數(shù)的平均值；
（Ⅱ）如果居民安全感指數(shù)不小于60，則認(rèn)為其安全感好．為了進(jìn)一步了解居民的安全感，調(diào)查組又在該地區(qū)隨機(jī)抽取3對夫妻進(jìn)行調(diào)查，用X表示他們之中安全感好的夫妻（夫妻二人都感到安全）的對數(shù)，求X的分布列及期望（以樣本的頻率作為總體的概率）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意，計(jì)算該地區(qū)居民安全感指數(shù)的平均值即可；
（Ⅱ）計(jì)算男、女居民安全感好的概率，由此求出一對夫妻都安全感好的概率；
得出X的可能取值，求出對應(yīng)概率值，寫出分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題意，計(jì)算該地區(qū)居民安全感指數(shù)的平均值為
10×0.02+30×0.03+50×0.4+70×0.253+90×0.297=65.54；…（5分）
（Ⅱ）男居民安全感好的概率為$\frac{131+119}{500}=0.5$，
女居民安全感好的概率為$\frac{122+178}{500}=0.6$，
故一對夫妻都安全感好的概率為0.5×0.6=0.3；…（7分）
因此X的可能取值為0，1，2，3，
且X～B（3，0.3）；
于是$P（x=k）=C_3^k×{0.3^k}×{（1-0.7）^{3-k}}（k=0，1，2，3）$；…（9分）
X的分布列為

X	0	1	2	3
p	0.343	0.441	0.189	0.027

…（11分）
∴數(shù)學(xué)期望為E（X）=np=3×0.3=0.9．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查了古典概型的概率計(jì)算問題，也考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計(jì)算問題，是中檔題．