已知向量
a
=(3sin α,cos α),
b
=(2sin α,5sin α-4cos α),α∈(
2
,2π)
,且
a
b

(1)求tan α的值;
(2)求cos(
α
2
+
π
3
)
的值.
分析:( 1)通過(guò)向量關(guān)系,求
a
b
=0,化簡(jiǎn)后,求出tanα=-
4
3

(2)根據(jù)α的范圍,求出
α
2
的范圍,確定
α
2
的正弦、余弦的值,利用兩角和的余弦公式求出cos(
α
2
+
π
3
)
的值.
解答:解:(1)∵
a
b
,∴
a
b
=0.
a
=(3sinα,cosα),
b
=(2sinα,5sinα-4cosα),
a
b
=6sin2α+5sinαcosα-4cos2α=0.
由于cosα≠0,∴6tan2α+5tanα-4=0.
解之,得tanα=-
4
3
,或tanα=
1
2

∵α∈(
2
,2π
),tanα<0,
故tanα=
1
2
(舍去).
∴tanα=-
4
3

(2)∵α∈(
2
, 2π ),∴
α
2
∈(
4
,π)

由tanα=-
4
3
,求得tan
α
2
=-
1
2
或tan
α
2
=2(舍去)
∴sin
α
2
=
5
5
,cos
α
2
=-
2
5
5

cos(
α
2
+
π
3
)=cos
α
2
cos
π
3
-sin
α
2
sin
π
3

=-
2
5
5
×
1
2
-
5
5
×
3
2
=-
2
5
+
15
10
點(diǎn)評(píng):本題考查兩角和與差的余弦函數(shù),數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式,弦切互化,考查計(jì)算能力,是基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知向量
a
=(
3
sinωx,cosωx),
b
=( cosωx,cosωx),其中ω>0,記函數(shù)f(x)=
a
b
,若f(x)的最小正周期為π
(Ⅰ)求ω;
(Ⅱ)當(dāng)0<x≤
π
3
時(shí),求f(x)的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知向量
a
=(
3
sinωx,cosωx),
b
=(cosωx,-cosωx),(ω>0),函數(shù)f(x)=
a
b
+
1
2
的圖象的兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為
π
4

(1)求ω值;
(2)若x∈(
7
24
π,
5
12
π)
時(shí),f(x)=-
3
5
,求cos4x的值;
(3)若cosx≥
1
2
,x∈(0,π),且f(x)=m有且僅有一個(gè)實(shí)根,求實(shí)數(shù)m的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知向量
a
=(
3
sinωx,cosωx),
b
=( cosωx,cosωx),其中ω>0,記函數(shù)f(x)=
a
b
-
1
2
已知f(x)的最小正周期為π.
(1)求ω;
(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;對(duì)稱軸方程;對(duì)稱中心坐標(biāo);
(3)當(dāng)0<x≤
π
3
時(shí),試求f(x)的最值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知向量
a
=(
3
sinωx,cosωx),
b
=(cosωx,3cosωx),ω>0,設(shè)f(x)=
a
b
,且f(x)的最小正周期為π.
(1)求ω的值;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(3)函數(shù)f(x)的圖象可由函數(shù)y=sin2x經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到.

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