Question

18．如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，BD是⊙O的直徑，直線CD與直線AB交于點F，E在DF上，AE是⊙O的切線，DA平分∠BDE．
（1）證明：AE⊥CD；
（2）如果AB=4，AE=2，求∠BFC的大�。�

Answer 1

分析 （1）欲證明AE⊥CD，只要證明OA∥CE即可．
（2）證明△ADE∽△BDA，可得BD=2AD，∠ABD=30°，利用AD⊥AF，即可求∠BFC的大�。�

解答 （1）證明：連接OA，則OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠ODA=∠ADE，
∴∠OAD=∠ADE，
∴OA∥CE，
∵AE是⊙O切線，
∴CE⊥AE，
∴AE⊥CD．
（2）解：由（1）可得△ADE∽△BDA，
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{AB}{BD}$，
∴$\frac{2}{AD}=\frac{4}{BD}$，
∴BD=2AD，
∴∠ABD=30°，
∴∠DAE=30°，
∵AD⊥AF，
∴∠BFC=30°．

點評 本題考查切線的性質、三角形的相似等知識，解題的關鍵是熟練掌握切線的性質，學會添加常用輔助線，屬于�？碱}型．