Question

9．已知圓O：ρ=cosθ+sinθ和直線l：ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求圓O和直線l的直角坐標(biāo)方程；
（2）求直線l與圓O公共點的一個極坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）圓O的方程即ρ²=ρcosθ+ρsinθ，可得圓O 的直角坐標(biāo)方程為：x²+y²-x-y=0，直線l方程即ρsinθ-ρcosθ=1，可得直線l的直角坐標(biāo)方程為：x-y+1=0；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-x-y=0}\\{x-y+1=0}\end{array}\right.$，可得直線l與圓O公共點的直角坐標(biāo)為（0，1），由此求得線l與圓O公共點的極坐標(biāo)．

解答 解（1）圓O：ρ=cosθ+sinθ，即ρ²=ρcosθ+ρsinθ，故圓O的直角坐標(biāo)方程為：x²+y²-x-y=0，
直線l：ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即ρsinθ-ρcosθ=1，則直線l的直角坐標(biāo)方程為：x-y+1=0；
（2）由（1）知圓O與直線l的直角坐標(biāo)方程分別為x²+y²-x-y=0和x-y+1=0，
將兩方程聯(lián)立得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-x-y=0}\\{x-y+1=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$，即圓O與直線l在直角坐標(biāo)系下的公共點為（0，1），
將（0，1）轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)為（1，$\frac{π}{2}$），故直線l與圓O公共點的一個極坐標(biāo)為（1，$\frac{π}{2}$）．

點評 本題主要考查把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，直線和圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．