Question

16．設f（x）=e^x，g（x）=1+lnx，若存在x₁、x₂∈[$\frac{1}{2}$，1]恒有|f（x₁）g（x₂）-f（x₂）g（x₁）|≥af（x₁+x₂），則a的最大值為（　　）

• A． e^-1-（1-ln2）e${\;}^{-\frac{1}{2}}$
• B． ln$\frac{e}{2}$-e^-1
• C． ln2-e^-1
• D． （1-ln2）e${\;}^{-\frac{1}{2}}$-e^-1

Answer 1

分析 問題轉化為存在x₁、x₂∈[$\frac{1}{2}$，1]恒有$|\frac{g{（x}_{2}）}{f{（x}_{2}）}-\frac{g{（x}_{1}）}{f{（x}_{1}）}|$≥a，令h（x）=$\frac{g（x）}{f（x）}$，x∈[$\frac{1}{2}$，1]，即h（x）_max-h（x）_min≥a成立，根據函數的單調性求出h（x）的最值，從而求出a的最大值即可．

解答 解：∵f（x）=e^x，∴f（x₁+x₂）＞0，
若存在x₁、x₂∈[$\frac{1}{2}$，1]恒有|f（x₁）g（x₂）-f（x₂）g（x₁）|≥af（x₁+x₂），
即存在x₁、x₂∈[$\frac{1}{2}$，1]恒有$|\frac{{e}^{{x}_{1}}（1+l{nx}_{2}）{-e}^{{x}_{2}}（1+l{nx}_{1}）}{{e}^{{x}_{1}{+x}_{2}}}|$≥a，
即存在x₁、x₂∈[$\frac{1}{2}$，1]恒有$|\frac{g{（x}_{2}）}{f{（x}_{2}）}-\frac{g{（x}_{1}）}{f{（x}_{1}）}|$≥a，
令h（x）=$\frac{g（x）}{f（x）}$，x∈[$\frac{1}{2}$，1]，
即h（x）_max-h（x）_min≥a成立，
而h（x）=$\frac{1+lnx}{{e}^{x}}$，x∈[$\frac{1}{2}$，1]，
h′（x）=$\frac{1-x-xlnx}{{xe}^{x}}$，
令m（x）=1-x-xlnx，x∈[$\frac{1}{2}$，1]，
m′（x）=-（2+lnx）＜0，m（x）遞減，
∴m（x）＞m（1）=0，即h′（x）＞0，
∴h（x）在[$\frac{1}{2}$，1]遞增，
∴h（x）_max=h（1）=e^-1，h（x）_min=h（$\frac{1}{2}$）=（1-ln2）${e}^{-\frac{1}{2}}$，
∴a≤h（x）_max-h（x）_min=e^-1-（1-ln2）${e}^{-\frac{1}{2}}$，
故a的最大值是：e^-1-（1-ln2）${e}^{-\frac{1}{2}}$，
故選：A．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及轉化思想，是一道中檔題．