Question

6．若直線l與曲線C滿足下列兩個條件：（i）直線l在點P（x₀，y₀）處與曲線C相切；（ii）曲線C在點P附近位于直線l的兩側(cè)，則稱直線l在點P處“切過”曲線C．下列命題正確的是①③④（寫出所有正確命題的編號）
 ①直線l：y=0在點P（0，0）處“切過”曲線C：y=x³；
 ②直線l：x=-1在點P（-1，0）處“切過”曲線C：y=（x+1）²；
 ③直線l：y=x在點P（0，0）處“切過”曲線C：y=sinx；
 ④直線l：y=x在點P（0，0）處“切過”曲線C：y=tanx．

Answer 1

分析 分別求出每一個命題中曲線C的導(dǎo)數(shù)，得到曲線在點P處的導(dǎo)數(shù)值，求出曲線在點P處的切線方程，再由曲線在點P兩側(cè)的函數(shù)值與對應(yīng)直線上點的值的大小判斷是否滿足（ii），則正確的選項可求．

解答 解：對于①，由y=x³，得y′=3x²，則y′|_x=0=0，直線y=0是過點P（0，0）的曲線C的切線，
又當(dāng)x＞0時y＞0，當(dāng)x＜0時y＜0，滿足曲線C在P（0，0）附近位于直線y=0兩側(cè)，故命題①正確；
對于②，由y=（x+1）²，得y′=2（x+1），則y′|_x=-1=0，
而直線l：x=-1的斜率不存在，在點P（-1，0）處不與曲線C相切，故命題②錯誤；
對于③，由y=sinx，得y′=cosx，則y′|_x=0=1，直線y=x是過點P（0，0）的曲線的切線，
又x∈（-$\frac{π}{2}$，0）時x＜sinx，x∈（0，$\frac{π}{2}$）時x＞sinx，滿足曲線C在P（0，0）附近位于直線y=x兩側(cè)，
故命題③正確；
對于④，y=tanx的導(dǎo)數(shù)為y′=sec²x，則y′|_x=0=1，直線y=x是過點P（0，0）的曲線的切線，
又x∈（-$\frac{π}{2}$，0）時x＞tanx，x∈（0，$\frac{π}{2}$）時x＜tanx，滿足曲線C在P（0，0）附近位于直線y=x兩側(cè)，故④正確．
∴正確的命題是①③④．
故答案為：①③④．

點評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究在曲線上某點處的切線方程，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值、最值，該題是中檔題．