9.已知函數(shù)$f(x)=x+\frac{a}{x}(a∈$R),g(x)=lnx,若關(guān)于x的方程$\frac{g(x)}{x^2}=f(x)-2e$(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))只有一個(gè)實(shí)數(shù)根,則a=${e^2}+\frac{1}{e}$.

分析 把方程化為 $\frac{lnx}{x}$=x2-2ex+a,求得 h(x)=$\frac{lnx}{x}$的最大值為 h(e)=$\frac{1}{e}$,再求得m(x)=x2-2ex+a 的最小值 m(e)=a-e2,根據(jù) a-e2=$\frac{1}{e}$求出a的值.

解答 解:關(guān)于x的方程 $\frac{g(x)}{{x}^{2}}$=f(x)-2e,可化為$\frac{lnx}{x}$=x2-2ex+a,
令h(x)=$\frac{lnx}{x}$,令h'(x)=0,得x=e,
故 h(x)的最大值為 h(e)=$\frac{1}{e}$,
令m(x)=x2-2ex+a,可得:x=e時(shí),m(x)的最小值 m(e)=a-e2 ,
由 a-e2=$\frac{1}{e}$可得 a=e2+$\frac{1}{e}$,
故答案為:${e^2}+\frac{1}{e}$.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,屬于基礎(chǔ)題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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20.懷寧縣電器開關(guān)廠生產(chǎn)車間用傳送帶將產(chǎn)品送至下一工序,質(zhì)檢人員每隔半小時(shí)在傳送帶上取一件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn),則這種抽樣方法是( 。
A.抽簽法B.系統(tǒng)抽樣C.分層抽樣D.隨機(jī)數(shù)表法

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17.已知函數(shù)f(x)=(x2-a)ex,a∈R.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)x1,x2,求證:f(x1)f(x2)<4e-2

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4.已知角θ的終邊落在直線y=-x上,則$y=\frac{sinθ}{{|{sinθ}|}}+\frac{{|{cosθ}|}}{cosθ}+\frac{tanθ}{{|{tanθ}|}}$的值為-1.

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14.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入x=78,則循環(huán)體執(zhí)行的次數(shù)為( 。
A.4B.5C.6D.7

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1.已知變量x,y滿足$\left\{{\begin{array}{l}{x-2y+4≥0}\\{x≤2}\\{x+y-2≥0}\end{array}}\right.$,則$\frac{y+1}{x+2}+1$的取值范圍是( 。
A.$[{2,\frac{5}{2}}]$B.$[{\frac{5}{4},\frac{5}{2}}]$C.$[{\frac{4}{5},\frac{5}{2}}]$D.$[{\frac{5}{4},2}]$

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18.中心均為原點(diǎn)O的雙曲線C2與橢圓C1:$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1有公共的焦點(diǎn),其中F為右焦點(diǎn),點(diǎn)A是C1,C2在第一象限的公共點(diǎn),若|OA|=|OF|,則C2的離心率為$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$.

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19.設(shè)F(c,0),A(-a,0)分別是橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)和頂點(diǎn),它的右準(zhǔn)線為l:x=4,且橢圓C過(guò)點(diǎn)(c,$\frac{\sqrt{3}b}{2}$).
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)P,Q是右準(zhǔn)線l上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且PF⊥QF,直線AP,AQ分別與橢圓交于點(diǎn)M,N兩點(diǎn),求證:直線MN過(guò)一定點(diǎn),并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo).

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