Question

11．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c，給出四個結論：
①函數(shù)f（x）一定有兩個極值點．
②若x=x₀是f（x）的極小值點，則f（x）在區(qū)間（-∞，x₀）上單調遞減．
③f（x）的圖象是中心對稱圖形．
④若f′（x₀）=0，則x=x₀是f（x）的極值點．
則結論正確的有（　　）個．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①根據(jù)二次函數(shù)的性質判斷即可．②④根據(jù)極值點的定義進行判斷．③根據(jù)三次函數(shù)的性質進行判斷．

解答 解：①f′（x）=3x²+2ax+b，若△=4a²-12b＜0，函數(shù)無極值點，故①錯誤；
②若x₀是f（x）的極小值點，則f（x）必有極大值x=m，且m＜x₀，則函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，x₀）上單調遞減，故②錯誤；
③f（x）=（x-x₀）³+b（x-x₀）+y₀的對稱中心是（x₀，y₀），
f（x）=x³+ax²+bx+c如果能寫成f（x）=（x-x₀）³+b（x-x₀）+y₀的形式，那么三次函數(shù)的對稱中心就是（x₀，f（x₀），
∴設f（x）=（x-x₀）³+p（x+m）+n，
得f（x）=ax³+3amx²+（3am²+p）x+am³+pm+n，
∴3am=b； 3am²+p=c； am³+pm+n=d；
∴m=$\frac{3a}$，p=$\frac{3ac{-b}^{2}}{3a}$，n=d+$\frac{{2b}^{3}}{2{7a}^{2}}$-$\frac{bc}{3a}$，
∴f（x）=a（x+$\frac{3a}$）³+（c-$\frac{^{2}}{3a}$）（x+$\frac{3a}$）+d+$\frac{{2b}^{3}}{2{7a}^{2}}$-$\frac{bc}{3a}$，
故函數(shù)y=f（x）的圖象一定是中心對稱圖形，故③正確；
④若f′（x₀）=0，則x=x₀不一定是f（x）的極值點，故④錯誤；
故選：A．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，著重考查導函數(shù)與極值的應用，要求熟練掌握三次函數(shù)的圖象和性質，屬于中檔題．