分析 (1)求出函數(shù)的定義域,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而確定極值情況.
(2)由題意可得a=x(1-lnx)在x∈[e-1,e]上有兩個(gè)零點(diǎn),令g(x)=x(1-lnx),求出導(dǎo)數(shù),求得單調(diào)區(qū)間,可得最值,再由函數(shù)方程的思想,可得a的范圍.
解答 解:(1)f(x)的定義域是(0,+∞),
f′(x)=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$,
a>0時(shí),令f′(x)>0,解得:x>a,
令f′(x)<0,解得;0<x<a,
∴f(x)在(0,a)遞減,在(a,+∞)遞增,
函數(shù)f(x)有極小值,
f(x)極小值=f(a)=1+lna.
(2)函數(shù)h(x)=f(x)-1在x∈[$\frac{1}{e}$,e]上有兩個(gè)零點(diǎn),
即為a=x(1-lnx)在x∈[$\frac{1}{e}$,e]上有兩個(gè)零點(diǎn),
令g(x)=x(1-lnx),g′(x)=1-lnx-1=-lnx,
當(dāng)$\frac{1}{e}$≤x<1時(shí),g′(x)>0,g(x)遞增;當(dāng)1<x≤e時(shí),g′(x)<0,g(x)遞減.
x=1處取得最大值,且為1,
x=$\frac{1}{e}$時(shí),g(x)=$\frac{2}{e}$;x=e時(shí),g(x)=0.
由題意可得:$\frac{2}{e}$≤a<1,
則a的取值范圍是[$\frac{2}{e}$,1).
點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用,函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值和最值,同時(shí)考查函數(shù)和方程的轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用,屬于中檔題.
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A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
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A. | 2 | B. | 1 | C. | $\sqrt{3}$ | D. | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ |
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A. | $\frac{6}{5}$或$\frac{5}{6}$ | B. | $\frac{5}{4}$或$\frac{4}{5}$ | C. | $\frac{3}{2}$或$\frac{2}{3}$ | D. | $\frac{4}{3}$或$\frac{3}{4}$ |
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