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3.已知函數(shù)f(x)=lnx+ax,其中a>0.
(1)求函數(shù)f(x)的極值;
(2)若函數(shù)h(x)=f(x)-1在區(qū)間[1e,e]上有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析 (1)求出函數(shù)的定義域,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而確定極值情況.
(2)由題意可得a=x(1-lnx)在x∈[e-1,e]上有兩個(gè)零點(diǎn),令g(x)=x(1-lnx),求出導(dǎo)數(shù),求得單調(diào)區(qū)間,可得最值,再由函數(shù)方程的思想,可得a的范圍.

解答 解:(1)f(x)的定義域是(0,+∞),
f′(x)=1x-ax2=xax2,
a>0時(shí),令f′(x)>0,解得:x>a,
令f′(x)<0,解得;0<x<a,
∴f(x)在(0,a)遞減,在(a,+∞)遞增,
函數(shù)f(x)有極小值,
f(x)極小值=f(a)=1+lna.
(2)函數(shù)h(x)=f(x)-1在x∈[1e,e]上有兩個(gè)零點(diǎn),
即為a=x(1-lnx)在x∈[1e,e]上有兩個(gè)零點(diǎn),
令g(x)=x(1-lnx),g′(x)=1-lnx-1=-lnx,
當(dāng)1e≤x<1時(shí),g′(x)>0,g(x)遞增;當(dāng)1<x≤e時(shí),g′(x)<0,g(x)遞減.
x=1處取得最大值,且為1,
x=1e時(shí),g(x)=2e;x=e時(shí),g(x)=0.
由題意可得:2e≤a<1,
則a的取值范圍是[2e,1).

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用,函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值和最值,同時(shí)考查函數(shù)和方程的轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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14.某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表:
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銷售額y(萬元)25304045
根據(jù)上表可得回歸方程y=\stackrel{∧}x+a,其中\stackrel{∧}=7,則a=3.5,據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)為7萬元時(shí)銷售額為52.5.

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③f(x)的圖象是中心對(duì)稱圖形.
④若f′(x0)=0,則x=x0是f(x)的極值點(diǎn).
則結(jié)論正確的有( �。﹤€(gè).
A.1B.2C.3D.4

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12.在△ABC中,∠A=60°,AB=2,且△ABC的面積S=\frac{\sqrt{3}}{2},則AC的長為(  )
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