Question

已知a∈R，函數(shù)f（x）=x²（x-a）
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，求使f（x）=x成立的x的集合；
（Ⅱ）求函數(shù)y=f （x）在區(qū)間[1，2]上的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,函數(shù)的零點(diǎn)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）將a=2代入，f（x）=x²（x-2），方程變?yōu)閤²（x-2）=x，整理解方程即可；
（Ⅱ）對f（x）求導(dǎo)，討論

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a與區(qū)間的位置關(guān)系，明確區(qū)間的單調(diào)性，進(jìn)一步求最值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，a=2時(shí)，f（x）=x為x²（x-2）=x整理得x（x²-2x-1）=0，所以x=0或x²-2x-1=0，解得x=±

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+1，
所以當(dāng)a=2時(shí)，求使f（x）=x成立的x的集合為{0，

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+1，-

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+1}；
（Ⅱ）由已知，f′（x）=3x²-2ax=3x（x-

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a），因?yàn)閤∈[1，2]，
所以當(dāng)

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a＜1，即x＞

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a時(shí)，f′（x）＞0，在[1，2]是增函數(shù)，此時(shí)最小值為f（1）=1-a；
當(dāng)

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a＞2，即x＜

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a時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在[1，2]是減函數(shù)，此時(shí)最小值為f（2）=8-4a；
當(dāng)1≤

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a≤2時(shí)，f（x）在[1，

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a]上單調(diào)遞減，在[

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a，2]上單調(diào)遞增，所以最小值為f（

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a）=-

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a3．

點(diǎn)評：本題考查了通過求導(dǎo)求三次函數(shù)在閉區(qū)間的最值求法；關(guān)鍵是正確討論參數(shù)．