Question

10．已知函數(shù)f（x）=（x-t）|x|（t∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)t=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）試討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若?t∈（0，2），對(duì)于?x∈[-1，2]，不等式f（x）＞x+a都成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)t=2時(shí)，f（x）=（x-t）|x|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，}&{（x≥0）}\\{{-x}^{2}+2x，}&{（x＜0）}\end{array}\right.$，作出其圖象，利用二次函數(shù)的單調(diào)性可求函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）分t＞0、t=0、t＜0三類討論，可求得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）設(shè)g（x）=f（x）-x=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-（t+1）x，x∈[0，2]}\\{{-x}^{2}+（t-1）x，x∈[-1，0]}\end{array}\right.$，依題意，可求得g_min（x）=-t，只須?t∈（0，2），使得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{{（t+1）}^{2}}{4}＞a}\\{-t＞a}\end{array}\right.$成立，解之即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)t=2時(shí)，f（x）=（x-t）|x|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，}&{（x≥0）}\\{{-x}^{2}+2x，}&{（x＜0）}\end{array}\right.$，
根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得：

f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，（0，1）上單調(diào)遞減，（1，+∞）上單調(diào)遞增．…（3分）
（Ⅱ）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-tx，}&{（x≥0）}\\{{-x}^{2}+tx，}&{（x＜0）}\end{array}\right.$，…（4分）
當(dāng)t＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[$\frac{t}{2}$，+∞），（-∞，0]，單調(diào)減區(qū)間為[0，$\frac{t}{2}$]，…（6分）
當(dāng)t=0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為R…（8分）
當(dāng)t＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[0，+∞），（-∞，$\frac{t}{2}$]，單調(diào)減區(qū)間為[$\frac{t}{2}$）…（10分）
（Ⅲ）設(shè)g（x）=f（x）-x=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-（t+1）x，x∈[0，2]}\\{{-x}^{2}+（t-1）x，x∈[-1，0]}\end{array}\right.$，
x∈[0，2]時(shí)，∵$\frac{t+1}{2}$∈（0，2），∴g_min（x）=g（$\frac{t+1}{2}$）=-$\frac{{（t+1）}^{2}}{4}$…（11分）
x∈[-1，0]時(shí)，∵g（-1）=-t，g（0）=0，∴g_min（x）=-t…（12分）
故只須?t∈（0，2），使得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{{（t+1）}^{2}}{4}＞a}\\{-t＞a}\end{array}\right.$成立，即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{4}≥a}\\{0≥a}\end{array}\right.$．…（14分）
所以a≤-$\frac{1}{4}$…（15分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問題，突出考查二次函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查數(shù)形結(jié)合思想與函數(shù)與方程思想的綜合運(yùn)用，屬于難題．