Question

12．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax-a，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)
（1）若x∈R，不等式f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）求證：n∈N^*，不等式$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n+1}$＞$\frac{{e}^{n}-1}{{e}^{n+1}-{e}^{n}}$恒成立．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=e^x-ax-a，求出導(dǎo)數(shù)f'（x）=e^x-a，從而化恒成立問題為最值問題，討論a=0，a＜0，a＞0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）由（1）和已知可得，e^x≥x+1，可得．n∈N^*時(shí)，eⁿ＞n+1，即$\frac{1}{n+1}$＞$\frac{1}{{e}^{n}}$．由等比數(shù)列的求和公式和累加法，即可得證．

解答 解：（1）由f（x）=e^x-ax-a，f'（x）=e^x-a，
若a＜0，則f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x趨近于負(fù)無(wú)窮大時(shí)，f（x）趨近于負(fù)無(wú)窮大；
當(dāng)x趨近于正無(wú)窮大時(shí)，f（x）趨近于正無(wú)窮大，
故a＜0不滿足條件．
若a=0，f（x）=e^x≥0恒成立，滿足條件．
若a＞0，由f'（x）=0，得x=lna，
當(dāng)x＜lna時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)x＞lna時(shí)，f'（x）＞0，
所以函數(shù)f（x）在（-∞，lna）上單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)f（x）在x=lna處取得極小值f（lna）=e^lna-a•lna-a=-a•lna，
由f（lna）≥0得-a•lna≥0，
解得0＜a≤1．
綜上，滿足f（x）≥0恒成立時(shí)實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0，1]．
（2）證明：由（1）和已知可得，當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=e^x-x-1≥0恒成立，
即為e^x≥x+1，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，取得等號(hào)．
則n∈N^*時(shí)，eⁿ＞n+1，即$\frac{1}{n+1}$＞$\frac{1}{{e}^{n}}$．
又$\frac{1}{e}$+$\frac{1}{{e}^{2}}$+$\frac{1}{{e}^{3}}$+…+$\frac{1}{{e}^{n}}$=$\frac{\frac{1}{e}（1-\frac{1}{{e}^{n}}）}{1-\frac{1}{e}}$=$\frac{{e}^{n}-1}{{e}^{n+1}-{e}^{n}}$，
則$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n+1}$＞$\frac{{e}^{n}-1}{{e}^{n+1}-{e}^{n}}$恒成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，求最值，考查不等式的證明，注意運(yùn)用累加法和已知結(jié)論，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．