【題目】已知橢圓 的右焦點為F,過橢圓C中心的弦PQ長為2,且∠PFQ=90°,△PQF的面積為1.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設A1、A2分別為橢圓C的左、右頂點,S為直線 上一動點,直線A1S交橢圓C于點M,直線A2S交橢圓于點N,設S1、S2分別為△A1SA2、△MSN的面積,求 的最大值.
【答案】解:(Ⅰ)弦PQ過橢圓中心,且∠PFQ=90°,則c=丨OF丨= 丨PQ丨=1,
不妨設P(x0 , y0)(x0 , y0>0),
∴,△PQF的面積= ×丨OF丨×2y0=y0=1,則x0=1,b=1,
a2=b2+c2=2,
∴橢圓方程為 +y2=1;
(Ⅱ)設S(2 ,t),直線A1S:x= y﹣ ,則 ,
整理( +2)y2﹣ y=0,解得y1= ,
同理,設直線A2S:x= y+ ,
得( +2)y2+ y=0,解得y1=﹣ ,
則 =丨 × 丨
≤ × = ,
當且僅當t2+9=3t2+3,即t=± 時取“=”
【解析】(Ⅰ)由c=丨OF丨= 丨PQ丨=1,根據三角形的面積公式,即可求得b的值,a2=b2+c2=2,即可求得橢圓方程;(Ⅱ)設S點坐標,求直線A1S及A2S代入橢圓方程,求得M和N點坐標,根據三角形的面積公式及基本不等式的性質,即可求得 的最大值.
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【題目】如圖, 為正四棱錐側棱上異于, 的一點,給出下列結論:
①側面可以是正三角形.
②側面可以是直角三角形.
③側面上存在直線與平行.
④側面上存在直線與垂直.
其中,所有正確結論的序號是__________.
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【題目】如圖,設P是圓上的動點,點D是P在x軸上的投影,M為線段PD上一點,且,
(1)當P在圓上運動時,求點M的軌跡C的方程;
(2)求過點(3,0)且斜率為的直線被軌跡C所截線段的長度.
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【題目】如圖所示的空間幾何體中,四邊形是邊長為2的正方形, 平面, , , , .
(1)求證:平面平面;
(2)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.
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【題目】已知三條直線l1:2x-y+a=0(a>0),直線l2:4x-2y-1=0和直線l3:x+y-1=0,且l1和l2的距離是.
(1)求a的值.
(2)能否找到一點P,使得P點同時滿足下列三個條件:①P是第一象限的點;②P點到l1的距離是P點到l2的距離的;③P點到l1的距離與P點到l3的距離之比是?若能,求出P點坐標;若不能,請說明理由.
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【題目】某種產品的廣告費支出與銷售額 (單位:萬元)具有較強的相關性,且兩者之間有如下對應數(shù)據:
2 | 4 | 5 | 6 | 8 | |
28 | 36 | 52 | 56 | 78 |
(1)求關于的線性回歸方程;
(2)根據(1)中的線性回歸方程,當廣告費支出為10萬元時,預測銷售額是多少?
參考數(shù)據: ,,。
附:回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:
,.
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【題目】某工廠某種產品的年固定成本為250萬元,每生產千件,需另投入成本為,當年產量不足80千件時,(萬元).當年產量不小于80千件時(萬元).每件商品售價為0.05萬元.通過分析,該工廠生產的商品能全部售完.
(1)寫出年利潤(萬元)關于年產量(千件)的函數(shù)解析式;
(2)當年產量為多少千件時,該廠在這一商品的生產中所獲利潤最大?
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