Question

已知函數(shù)y=sin（

1

2

x-

π

3

）．
（1）求函數(shù)f（x）的周期；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）求函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心；
（4）求函數(shù)f（x）的最大值和最小值及取得最大最小值時(shí)x對(duì)應(yīng)的值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦函數(shù)的單調(diào)性,正弦函數(shù)的對(duì)稱性,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)的周期T=

2π

ω

，求出周期；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱性，求出函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸與對(duì)稱中心；
（4）根據(jù)正弦函數(shù)的最值，求出f（x）的最大、最小值以及對(duì)應(yīng)的x的值．

解答： 解：（1）∵函數(shù)y=sin（

1

2

x-

π

3

），∴f（x）的周期是T=

2π

1 2

=4π；
（2）∵-

π

2

+2kπ≤

1

2

x-

π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
∴-

π

6

+2kπ≤

1

2

x≤

5π

6

+2kπ，k∈Z，
∴-

π

3

+4kπ≤x≤

5π

3

+4kπ，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間是[-

π

3

+4kπ，

5π

3

+4kπ]，k∈Z；
同理，f（x）的減區(qū)間是[

5π

3

+4kπ，

11π

3

+4kπ]，k∈Z；
（3）令

1

2

x-

π

3

=

π

2

+kπ，k∈Z，
得

1

2

x=

5π

6

+kπ，k∈Z，
∴x=

5π

3

+2kπ，k∈Z；
再令

1

2

x-

π

3

=kπ，k∈Z，
得

1

2

x=

π

3

+kπ，k∈Z，
∴x=

2π

3

+2kπ，k∈Z；
∴函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸是x=

5π

3

+2kπ，k∈Z，
對(duì)稱中心是（

2π

3

+2kπ，0），k∈Z；
（4）令

1

2

x-

π

3

=

π

2

+2kπ，k∈Z，
得

1

2

x=

5π

6

+2kπ，k∈Z，
∴x=

5π

3

+4kπ，k∈Z，此時(shí)f（x）取得最大值1；
再令

1

2

x-

π

3

=-

π

2

+2kπ，k∈Z，
得

1

2

x=-

π

6

+2kπ，k∈Z，
∴x=-

π

3

+4kπ，k∈Z，此時(shí)f（x）取得最小值-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行解答，是基礎(chǔ)題．