【題目】設函數(shù)f(x)=(x+a)lnx,g(x)= ,已知曲線y=f(x)在x=1處的切線過點(2,3).
(1)求實數(shù)a的值.
(2)是否存在自然數(shù)k,使得函數(shù)y=f(x)﹣g(x)在(k,k+1)內存在唯一的零點?如果存在,求出k;如果不存在,請說明理由.
(3)設函數(shù)h(x)=min{f(x),g(x)},(其中min{p,q}表示p,q中的較小值),對于實數(shù)m,x0∈(0,+∞),使得h(x0)≥m成立,求實數(shù)m的取值范圍.
【答案】
(1)解:由f(x)=(x+a)lnx,得f′(x)=lnx+ ,
則f'(1)=a+1,f(1)=0,
∴f(x)在x=1處的切線方程為y=(1+a)(x﹣1),代入(2,3),得3=1+a,即a=2
(2)解:存在k=1符合題意,證明如下:
令 ,
當x∈(0,1]時,φ(x)<0,φ(2)= > ,
∴φ(1)φ(2)<0.
可得x0∈(1,2),使得φ(x0)=0,
φ′(x)=lnx+ + ,
當x∈(1,2)時,φ′(x)>1+ >0;
當x∈[2,+∞)時,φ′(x)=lnx+ + >0.
即x∈(1,+∞)時,φ′(x)>0.
φ(x)在(1,+∞)上單調遞增.
可得φ(x)=0在(1,2)有唯一實根.
∴存在k=1使得函數(shù)y=f(x)﹣g(x)在(k,k+1)內存在唯一的零點
(3)解:x0∈(0,+∞),使得h(x0)≥m成立,則m≤hmax(x).
由(2)知,函數(shù)y=f(x)﹣g(x)在(k,k+1)內存在唯一的零點x0 .
當x∈(0,x0)時,f(x)<g(x),x∈(x0,+∞)時,f(x)>g(x),
∴h(x)= ,
當x∈(0,x0]時,若x∈(0,1],h(x)=f(x)≤0,
若x∈(1,x0],h′(x)=lnx+ >0,h(x)在(1,x0]上單調遞增,
∴0<h(x)≤h(x0),
當x∈(x0,+∞)時,h′(x)= ,
可得x∈(x0,2)時,h′(x)>0,h(x)單調遞增,x∈(2,+∞)時,h′(x)<0,h(x)單調遞減.
∴x∈(x0,+∞)時,h(x)≤h(2)= ,且h(x0)<h(2).
可得 .
∴ 時,x0∈(0,+∞),使得h(x0)≥m成立
【解析】(1)利用導數(shù)求出函數(shù)f(x)在x=1處的切線方程,把點(2,3)代入切線方程即可求得實數(shù)a的值;(2)構造函數(shù) ,利用導數(shù)判斷x∈(1,+∞)時,φ′(x)>0,φ(x)在(1,+∞)上單調遞增.結合φ(1)φ(2)<0,可得x0∈(1,2),使得φ(x0)=0,從而求得k值;(3)由題意寫出分段函數(shù)h(x),然后利用導數(shù)分類求出函數(shù)的最大值,得到h(x)在(0,+∞)上的最大值,即可求得滿足條件的實數(shù)m的取值范圍.
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【題目】如圖是秦九韶算法的一個程序框圖,則輸出的S為( )
A.a1+x0(a3+x0(a0+a2x0))的值
B.a3+x0(a2+x0(a1+a0x0))的值
C.a0+x0(a1+x0(a2+a3x0))的值
D.a2+x0(a0+x0(a3+a1x0))的值
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【題目】甲,乙兩臺機床同時生產(chǎn)一種零件,其質量按測試指標劃分:指標大于或等于100為優(yōu)品,大于等于90且小于100為合格品,小于90為次品,現(xiàn)隨機抽取這兩臺車床生產(chǎn)的零件各100件進行檢測,檢測結果統(tǒng)計如下:
測試指標 | |||||
機床甲 | 8 | 12 | 40 | 32 | 8 |
機床乙 | 7 | 18 | 40 | 29 | 6 |
(1)試分別估計甲機床、乙機床生產(chǎn)的零件為優(yōu)品的概率;
(2)甲機床生產(chǎn)一件零件,若是優(yōu)品可盈利160元,合格品可盈利100元,次品則虧損20元;假設甲機床某天生產(chǎn)50件零件,請估計甲機床該天的日利潤(單位:元);
(3)從甲、乙機床生產(chǎn)的零件指標在內的零件中,采用分層抽樣的方法抽取5件,從這5件中任選2件進行質量分析,求這2件都是乙機床生產(chǎn)的概率.
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【題目】設函數(shù)f(x)=lnx﹣ ax2﹣bx,若x=1是f(x)的極大值點,則a的取值范圍為( )
A.(﹣1,0)
B.(﹣1,+∞)
C.(0,+∞)
D.(﹣∞,﹣1)∪(0,+∞)
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【題目】某大學在開學季準備銷售一種盒飯進行試創(chuàng)業(yè),在一個開學季內,每售出1盒該盒飯獲利潤10元,未售出的產(chǎn)品,每盒虧損5元.根據(jù)歷史資料,得到開學季市場需求量的頻率分布直方圖,如圖所示.該同學為這個開學季購進了150盒該產(chǎn)品,以x(單位:盒,)表示這個開學季內的市場需求量,y(單位:元)表示這個開學季內經(jīng)銷該產(chǎn)品的利潤.
(1)根據(jù)直方圖估計這個開學季內市場需求量x的平均數(shù)和眾數(shù);
(2)將y表示為x的函數(shù);
(3)根據(jù)頻率分布直方圖估計利潤y不少于1050元的概率.
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【題目】已知函數(shù)y=x2的圖象在點(x0 , x02)處的切線為l,若l也與函數(shù)y=lnx,x∈(0,1)的圖象相切,則x0必滿足( )
A.0<x0<
B. <x0<1
C. <x0<
D. <x0
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【題目】已知長方體AC1中,AD=AB=2,AA1=1,E為D1C1的中點,如圖所示.
(Ⅰ)在所給圖中畫出平面ABD1與平面B1EC的交線(不必說明理由);
(Ⅱ)證明:BD1∥平面B1EC;
(Ⅲ)求平面ABD1與平面B1EC所成銳二面角的大。
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【題目】設函數(shù)f′(x)是奇函數(shù)f(x)(x∈R)的導函數(shù),f(﹣1)=0,當x>0時,xf′(x)﹣f(x)<0,則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是( )
A.(﹣∞,﹣1)∪(0,1)
B.(﹣1,0)∪(1,+∞)
C.(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,0)
D.(0,1)∪(1,+∞)
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【題目】(分)已知橢圓的左焦點為,過的直線與交于、兩點.
()求橢圓的離心率.
()當直線與軸垂直時,求線段的長.
()設線段的中點為,為坐標原點,直線交橢圓交于、兩點,是否存在直線使得?若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由.
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