Question

【題目】已知長(zhǎng)方體AC1中，AD=AB=2，AA1=1，E為D1C1的中點(diǎn)，如圖所示．

（Ⅰ）在所給圖中畫(huà)出平面ABD1與平面B1EC的交線(xiàn)（不必說(shuō)明理由）；
（Ⅱ）證明：BD1∥平面B1EC；
（Ⅲ）求平面ABD1與平面B1EC所成銳二面角的大�。�

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）連接BC1交B1C于M，則直線(xiàn)ME即為平面ABD1與平面B1EC的
交線(xiàn)，如圖所示；

（Ⅱ）由（Ⅰ）因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體AC1中，所以M為BC1的中點(diǎn)，又E為D1C1的中點(diǎn)
所以在△D1C1B中EM是中位線(xiàn)，所以EM∥BD1 ，
又EM平面B1EC，BD1平面B1EC，
所以BD1∥平面B1EC；
（Ⅲ）因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體AC1中，所以AD1∥BC1 ，
平面ABD1即是平面ABC1D1 ， 過(guò)平面B1EC上
點(diǎn)B1作BC1的垂線(xiàn)于F，如平面圖①，

因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體AC1中，AB⊥平面B1BCC1 ， B1F平面B1BCC1 ， 所以B1F⊥AB，BC1∩AB=B，
所以B1F⊥平面ABD1于F．
過(guò)點(diǎn)F作直線(xiàn)EM的垂線(xiàn)于N，如平面圖②，

連接B1N，由三垂線(xiàn)定理可知，B1N⊥EM．由二面角的平面角定義可知，在Rt△B1FN中，∠B1NF即是平面ABD1與平面B1EC所成銳二面角的平面角．
因長(zhǎng)方體AC1中，AD=AB=2，AA1=1，在平面圖①中， ，
， ，C1E=1，在平面圖②中，由△EMC1相似△FMN1可知 = = ，
所以tan∠B1NF= = ，
所以平面ABD1與平面B1EC所成銳二面角的大小為arctan2．
空間向量解法：
（Ⅰ）見(jiàn)上述．
（Ⅱ）因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體AC1中，所以DA，DC，DD1兩兩垂直，于是以DA，DC，DD1所在直線(xiàn)分別為x，y，z軸，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
因?yàn)锳D=AB=2，AA1=1，所以D（0，0，0），D1（0，0，1），B（2，2，0），B1（2，2，1），C（0，2，0），E（0，1，1）．所以 ， ， ，
令平面B1EC的一個(gè)法向量為
所以 ， ，從而有，

，即 ，不妨令x=﹣1，
得到平面B1EC的一個(gè)法向量為 ，
而 ，所以 ，又因?yàn)锽D1平面B1EC，
所以BD1∥平面B1EC．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知 ， ，令平面ABD1的一個(gè)法向量為 ，
所以 ， ，從而有， ，即 ，不妨令x=1，
得到平面ABD1的一個(gè)法向量為 ，
因?yàn)? = ．
所以平面ABD1與平面B1EC所成銳二面角的大小為
【解析】（Ⅰ）連接BC1交B1C于M即可得到平面ABD1與平面B1EC的交線(xiàn)；（Ⅱ）根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理即可證明：BD1∥平面B1EC；（Ⅲ）方法1，根據(jù)幾何法作出二面角的平面角即可求平面ABD1與平面B1EC所成銳二面角的大小．方法2，建立坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法進(jìn)行求解．