Question

20．定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（x）+f（x-1）=0，且在[-5，-4]上是增函數(shù)，A，B是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，則（　�。�

• A． f（sinA）＞f（cosB）
• B． f（sinA）＜f（cosB）
• C． f（sinA）＞f（sinB）
• D． f（cosA）＞f（cosB）

Answer 1

分析 首先根據(jù)A、B是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，結(jié)合y=cosx在區(qū)間（0，$\frac{π}{2}$）上是減函數(shù)，證出sinA＞cosB．然后根據(jù)偶函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（x+1）=-f（x），可得函數(shù)f（x）是周期為2的函數(shù)，且f（x）在[0，1]上是減函數(shù)．最后根據(jù)f（x）在[0，1]上是減函數(shù)，結(jié)合銳角三角形中sinA＞cosB，得到f（sinA）＜f（cosB）．

解答 解：∵A、B是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，
∴A+B＞$\frac{π}{2}$，可得A＞$\frac{π}{2}$-B，
∵y=cosx在區(qū)間（0，$\frac{π}{2}$）上是減函數(shù)，$\frac{π}{2}$＞A＞$\frac{π}{2}$-B＞0，
∴sinA＞sin（$\frac{π}{2}$-B）=cosB，即銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角A、B是滿(mǎn)足sinA＞cosB，
∵函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（x+1）=-f（x），
∴f（x+2）=-f（x+1）=-[-f（x）]=f（x），可得函數(shù)f（x）是周期為2的函數(shù)．
∵f（x）在[-5，-4]上是增函數(shù)，
∴f（x）在[-1，0]上也是增函數(shù)，
再結(jié)合函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，可得f（x）在[0，1]上是減函數(shù)．
∵銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角A、B是滿(mǎn)足sinA＞cosB，且sinB、cosA∈[0，1]
∴f（sinA）＜f（cosB）．
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題以函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性為例，考查了銳角三角形的性質(zhì)、函數(shù)的定義域與簡(jiǎn)單性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題