Question

下列四個命題：
①函數(shù)y=-

1

x

在其定義域上是增函數(shù)；
②y=x和y=

x2

表示同一個函數(shù)；
③y=x²-2|x|-3的遞增區(qū)間為[1，+∞）；
④若2^a=3^b＜1，則a＜b＜0．
其中正確命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①利用y=-

1

x

的單調(diào)性質(zhì)可判斷①之正誤；
②利用y=

x2

=|x|可判斷y=x和y=

x2

是否為同一函數(shù)；
③通過對x范圍的討論，利用二次函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)可求得y=x²-2|x|-3的遞增區(qū)間，從而可判斷其正誤；
④在同一直角坐標(biāo)系中作出y=3^x與y=2^x的圖象，數(shù)形結(jié)合，可判斷④之正誤．

解答： 解：①∵y=-

1

x

在區(qū)間（-∞，0），（0，+∞）上單調(diào)遞增，但在其定義域內(nèi)并不是增函數(shù)，故①錯誤；
②∵y=

x2

=|x|，顯然與y=x不是同一函數(shù)，故②錯誤；
③令f（x）=x²-2|x|-3，
則f（-x）=（-x）²-2|-x|-3=x²-2|x|-3=f（x），故f（x）=x²-2|x|-3為偶函數(shù)，
又當(dāng)x≥0時，f（x）=x²-2x-3=（x-1）²-4，在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，而偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反，
∴y=x²-2|x|-3的遞增區(qū)間為[-1，0]，[1，+∞），故③錯誤；
④在同一直角坐標(biāo)系中作出y=3^x與y=2^x的圖象，

∵2^a=3^b＜1，
由圖知a＜b＜0，故④正確；
綜上所述，正確命題的序號是④．
故答案為：④．

點評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查函數(shù)的單調(diào)性與圖象性質(zhì)，考查作圖能力、分析解決問題的能力，屬于中檔題．