Question

6．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經過點（2$\sqrt{3}$，1），且以橢圓短軸的兩個端點和一個焦點為頂點的三角形是等邊三角形．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設P（x，y）是橢圓E上的動點，M（2，0）為一定點，求|PM|的最小值及取得最小值時P點的坐標．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意求得2b=a，將點（2$\sqrt{3}$，1），代入橢圓方程，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（Ⅱ）利用兩點之間的距離公式，求得丨PM丨²=（x-2）²+y²，由P在橢圓上，則y²=4-$\frac{{x}^{2}}{4}$，代入利用二次函數的性質，即可求得|PM|的最小值及P點坐標．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知：2b=a，
將（2$\sqrt{3}$，1）代入橢圓方程：$\frac{{x}^{2}}{4^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，
解得：b²=4，a²=16，
∴橢圓E的方程$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（Ⅱ）由丨PM丨²=（x-2）²+y²，由P（x，y）在橢圓上，（-4≤x≤4）則y²=4-$\frac{{x}^{2}}{4}$，
∴丨PM丨²=x²-4x+4+4-$\frac{{x}^{2}}{4}$=$\frac{3}{4}$x-4x+8=$\frac{3}{4}$（x+$\frac{8}{3}$）+$\frac{8}{3}$，
∴當x=-$\frac{8}{3}$時，丨PM丨取最小值，最小值為$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴當x=-$\frac{8}{3}$，解得：y=±$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，
∴|PM|的最小值$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，P點的坐標（-$\frac{8}{3}$，±$\frac{2\sqrt{5}}{3}$）．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，兩點之間的距離公式，二次函數的最值，考查計算能力，屬于中檔題．